Рассмотрим метод нахождения предела рациональной дроби.
1. Найти предел \(\lim_{x \to -\frac{1}{5}}\frac{15x^{2}-2x-1}{x+\frac{1}{5}} \)
находим значение функции в точке \(x = -\frac{1}{5}\), получаем
$$ \lim_{x \to -\frac{1}{5}} \frac{15x^{2}-2x-1}{x+\frac{1}{5}} = \frac{15(-\frac{1}{5})^{2}-2(-\frac{1}{5})-1}{(-\frac{1}{5})+\frac{1}{5}} = $$$$ = \frac{\frac{3}{5} + \frac{2}{5} - 1 }{-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя, заключающееся в следующем \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке. Найдем производные и предел
$$ \lim_{x \to -\frac{1}{5}} \frac{15x^{2}-2x-1}{x+\frac{1}{5}} = \lim_{x \to -\frac{1}{5}} \frac{(15x^{2}-2x-1)'}{(x+\frac{1}{5})'} =$$$$ = \lim_{x \to -\frac{1}{5}} \frac{30x-2}{1} = 30(-\frac{1}{5})-2 = -8-2 = -8$$
Ответ: \(\lim_{x \to -\frac{1}{5}}\frac{15x^{2}-2x-1}{x+\frac{1}{5}} = -8\)
