Исследуем функцию y= \frac{x^3-27x+54}{x^3} и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. x \ne 0. ОДЗ D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x=0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа \lim_{x \to 0+0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{+0} = +\infty
и слева от точки
\lim_{x \to 0-0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{-0} = -\infty
Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны
\pm \infty. Ось Oy является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность f(-x) = \frac{(-x)^3-27(-x)+54}{(-x)^3} = \frac{-x^3+27x+54}{-x^3} функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем y=0, получим \frac{x^3-27x+54}{x^3}= 0 => x^3-27x+54 = 0 => . Находим корни многочлена третьей степени по методу Виета-Кардано и получаем один корни x_1=-6; x_2=3 . Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox в точке с координатами (-6;0); (3;0).
точка пересечения с осью Oy: Точек пересечения с осью Oy нет, ось Oy является вертикальной асимптотой.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox это x =-6 и x=3 и одну точку разрыва x = 0, т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал (-\infty;-6) найдем значение функции в любой точке f(-10) = \frac{(-10)^3-27(-10)+54}{(-10)^3} > 0, на этом интервале функция отрицательная f(x) > 0 , т.е. находится выше оси Ox
интервал (-6;0) найдем значение функции в любой точке f(-3) = \frac{(-3)^3-27(-3)+54}{(-3)^3} < 0 , на этом интервале функция отрицательная f(x) < 0 , т.е. находится ниже оси Ox
интервал (0;3) найдем значение функции в любой точке f(2) = \frac{2^3-27*2+54}{2^3} > 0 , на этом интервале функция отрицательная f(x) > 0 , т.е. находится выше оси Ox
интервал (3 ; + \infty) найдем значение функции в любой точке f(10) = \frac{10^3-27*10+54}{10^3} > 0 , на этом интервале функция положительная f(x) > 0 , т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю y' = ( \frac{x^3-27x+54}{x^3})'= \frac{(x^3-27x+54)'x^3 - 3x^2(x^3-27x+54)}{x^6}=
= \frac{(3x^2-27)x - 3(x^3-27x+54)}{x^4} = 3\frac{x^2-9x - x^3+27x-54}{x^4}=
= 3\frac{18x-54}{x^4}=54\frac{x-3}{x^4}
приравняем к 0
54\frac{x-3}{x^4} = 0 => x-3 = 0 => x=3
функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
f(3)= 0 , получили координаты критической точки
(3; 0)Интервалы монотонности.Функция имеет одну критическую точку и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал
(-\infty; 0) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(-4) = 54\frac{-4-3}{(-4)^4} < 0, на этом интервале функция убывает.
интервал
(0; 3) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(1) = 54\frac{1-3}{1^4} < 0, на этом интервале функция убывает.
интервал
(3; +\infty) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(4) = 54\frac{4-3}{4^4} > 0, на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции. Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = 3:
- \quad 0 \quad +, т.е. функция имеет точку минимума с координатами
(3;0)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю y'' = ( 54\frac{x-3}{x^4})'= 54\frac{x^4 - 4x^3(x-3)}{x^8}=
= 54\frac{x - 4(x-3)}{x^5} = 54\frac{ - 3x+12}{x^5} = -162\frac{ x -4}{x^5}
Приравняем к нулю
-162\frac{ x -4}{x^5} = 0 => x-4 = 0 => x = 4
Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегибы
интервал
(-\infty; 0) найдем значение второй производной в любой точке
f''(-1) = -162\frac{ -1 -4}{(-1)^5} < 0 , на этом интервале вторая производная функции отрицательная
f''(x) < 0 - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал
(0; 4) найдем значение второй производной в любой точке
f''(2) = -162\frac{ 2 -4}{2^5} > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная
f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал
(4; + \infty ) найдем значение второй производной в любой точке
f''(10) = -162\frac{ 10 -4}{10^5} < 0 , на этом интервале вторая производная функции отрицательная
f''(x) < 0 - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю
x =4- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\quad + \quad 0 \quad - вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке
f(4) = \frac{5}{32} \approx 0.156.
Координаты точки перегиба (4; \frac{5}{32} )
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции у= \frac{x^3-27x+54}{x^3} при x \to \infty имел наклонную асимптота y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела \lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k
находим его
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-27x+54}{x^4} = 0 => k= 0
т.к.
k =0 - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел
\lim_{x \to +\infty}f(x) = b
найдем его
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1
график функции стремится к y =1 снизу
\lim_{x \to - \infty} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1
график функции стремится к y =1 снизу, получили , что
y =1 - горизонтальная асимптота .
8. Построить график функции.
