Исследование функции

Исследуем функцию $y= \frac{x^3-27x+54}{x^3}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne  0$.  ОДЗ

$$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x=0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа

$$\lim_{x \to 0+0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{+0} = +\infty$$ и слева от точки $$\lim_{x \to 0-0} \frac{x^3-27x+54}{x^3} = \frac{54}{-0} = -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны $\pm \infty$. Ось Oy является вертикальной асимптотой.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =  \frac{(-x)^3-27(-x)+54}{(-x)^3} =  \frac{-x^3+27x+54}{-x^3}$ функция не является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $\frac{x^3-27x+54}{x^3}=  0 => x^3-27x+54 = 0 =>$. Находим корни многочлена третьей степени по методу Виета-Кардано и получаем один корни $x_1=-6; x_2=3$. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox в точке  с координатами (-6;0); (3;0).
точка пересечения с осью Oy: Точек пересечения с осью Oy нет, ось Oy является вертикальной асимптотой.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox это x =-6 и x=3 и одну точку разрыва x = 0, т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал $(-\infty;-6)$ найдем значение функции в любой точке $f(-10) = \frac{(-10)^3-27(-10)+54}{(-10)^3}     >  0$, на этом интервале функция отрицательная $f(x) > 0$, т.е. находится выше оси Ox
интервал $(-6;0)$ найдем значение функции в любой точке $f(-3) =  \frac{(-3)^3-27(-3)+54}{(-3)^3}    <  0$, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. находится ниже оси Ox
интервал $(0;3)$ найдем значение функции в любой точке $f(2) =  \frac{2^3-27*2+54}{2^3}    >  0$, на этом интервале функция отрицательная $f(x) > 0$, т.е. находится выше оси Ox
интервал $(3 ; + \infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(10) = \frac{10^3-27*10+54}{10^3} > 0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = ( \frac{x^3-27x+54}{x^3})'= \frac{(x^3-27x+54)'x^3 - 3x^2(x^3-27x+54)}{x^6}=$$ $$= \frac{(3x^2-27)x - 3(x^3-27x+54)}{x^4} = 3\frac{x^2-9x - x^3+27x-54}{x^4}=$$ $$= 3\frac{18x-54}{x^4}=54\frac{x-3}{x^4}$$ приравняем к 0 $$54\frac{x-3}{x^4} = 0 => x-3 = 0 => x=3$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке $f(3)= 0$, получили координаты критической точки $(3; 0)$
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(-4) = 54\frac{-4-3}{(-4)^4}  <  0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $(0; 3)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(1)  = 54\frac{1-3}{1^4}  <  0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $(3; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(4) = 54\frac{4-3}{4^4} >  0$, на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = 3: $- \quad 0 \quad +$, т.е. функция имеет точку минимума с координатами $(3;0)$

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю

$$y'' = ( 54\frac{x-3}{x^4})'= 54\frac{x^4 - 4x^3(x-3)}{x^8}=$$ $$= 54\frac{x - 4(x-3)}{x^5} = 54\frac{ - 3x+12}{x^5} = -162\frac{ x -4}{x^5}$$ Приравняем к нулю $$-162\frac{ x -4}{x^5} = 0 => x-4  = 0 => x = 4$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегибы
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(-1) = -162\frac{ -1 -4}{(-1)^5} < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(0; 4)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(2) = -162\frac{ 2 -4}{2^5}   > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал $(4;  + \infty )$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(10) = -162\frac{ 10 -4}{10^5} < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю  $x =4$- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
 $\quad + \quad 0 \quad -$ вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке $f(4) = \frac{5}{32} \approx 0.156$.
Координаты точки перегиба $(4; \frac{5}{32} )$

7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у= \frac{x^3-27x+54}{x^3}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}   \frac{x^3-27x+54}{x^4} = 0 => k= 0$$ т.к. $k =0$ - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty}   \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1$$ график функции стремится к y =1 снизу $$\lim_{x \to - \infty}  \frac{x^3-27x+54}{x^3} = 1$$ график функции стремится к y =1 снизу, получили , что $y =1$ - горизонтальная асимптота .

8. Построить график функции.