Найдем производную \( y*arctg{x}-\ln \sqrt{1+x^2}=0\)
Уравнение функции задано в неявном виде, но есть возможность представить в явном виде, т.е. выразить y через x, т.е. в виде \(y = f(x)\)
$$y*arctg{x}-\ln\sqrt{1+x^{2}}=0 => y = \frac{\ln\sqrt{1+x^{2}}}{ arctg{x}}$$
Ищем производную явно заданной функции:
1. Применяем формулу производной дроби \(( \frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g{x})^2}\)
$$y' = ( \frac{ \ln\sqrt{1+x^{2}}}{ arctg{x}})' = \frac{ (\ln\sqrt{1+x^{2}})'* arctg{x} - \ln\sqrt{1+x^{2}}*( arctg{x})' }{( arctg{x})^2} = \quad (1)$$
2. Применим формулу производной сложной функции \((u(v(x)))' = u'(v(x))*v'(x)\)
\((\ln\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}*\frac{x}{ \sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{ 1+x^2} \)
3. Подставляем в (1)
$$(1) = \frac{ \frac{x}{ 1+x^2}* arctg{x} - \ln\sqrt{1+x^{2}}*\frac{1}{1+x^2} }{( arctg{x})^2} = \frac{ x*arctg{x} - \ln\sqrt{1+x^{2}}}{( 1+x^2)( arctg{x})^2} $$
Ответ: \( y'= ( \frac{\ln\sqrt{1+x^{2}}}{ arctg{x}})' = \frac{ x*arctg{x} - \ln\sqrt{1+x^{2}}}{( 1+x^2)( arctg{x})^2} \)
