Найти производную: $$y=\sqrt{1+2x-x^2}\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}-\sqrt{2}\ln(1+x)$$

Найдем производную функции \( y=\sqrt{1+2x-x^2}\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}-\sqrt{2}\ln(1+x) \)
1. Применим формулу производной произведения двух функций \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
$$y'=(\sqrt{1+2x-x^2}\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}-\sqrt{2}\ln(1+x) )' = (\sqrt{1+2x-x^2})'*\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}+\sqrt{1+2x-x^2}*(\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x})'-(\sqrt{2}*\ln(1+x))'= \quad (1)$$
2. Применим формулу производной сложной функции \((u(v(x)))' = u'(v(x))*v'(x)\)
\(( \sqrt{1+2x-x^2})' = \frac{2-2x}{2\sqrt{1+2x-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}\)
\(( \arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x})' =\frac{1}{ \sqrt{1 - (\frac{x\sqrt{2}}{1+x}})^2}*(\frac{x\sqrt{2}}{1+x})' =\) применим формулу производной дроби \( = \frac{1}{ \sqrt{1 - (\frac{x\sqrt{2}}{1+x}})^2}*\frac{\sqrt{2}(1+x)-x\sqrt{2}}{(1+x)^2} = \frac{x+1}{ \sqrt{(x+1)^2 -(x\sqrt{2})^2}}*\frac{\sqrt{2}(1+x)-x\sqrt{2}}{(1+x)^2} =\) \( = \frac{1}{ \sqrt{x^2+2x+1 -2x^2}}*\frac{\sqrt{2}}{1+x} =  \frac{\sqrt{2}}{(1+x) \sqrt{-x^2+2x+1}}\)
3. Применим формулу производной натурального логарифма \( ( \ln(x))' = \frac{1}{x} \)
\((\sqrt{2}*\ln(1+x))' =\frac{\sqrt{2}}{1+x} \)
4. Подставим результат в (1)
$$ =  \frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}*\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}+\sqrt{1+2x-x^2}*\frac{\sqrt{2}}{(1+x) \sqrt{-x^2+2x+1}}-\frac{\sqrt{2}}{1+x}= $$$$=\frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}*\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}+\frac{\sqrt{2}}{1+x}-\frac{\sqrt{2}}{1+x} = \frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}*\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}$$
Ответ: \( y'= (\sqrt{1+2x-x^2}\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x}-\sqrt{2}\ln(1+x))' = \frac{1-x}{\sqrt{1+2x-x^2}}*\arcsin \frac{x\sqrt{2}}{1+x} \)