Провести полное исследование функции и построить ее график: $$y=\frac{x^{2}-{3x+3}}{x-1}$$

Исследуем функцию $y= \frac{x^{2}-3x+3}{x-1}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. $x -1 \ne  0 => x \ne 1$.  ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 1
исследуем точку x=1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 1+0} \frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = \frac{1}{+0} = +\infty$$ и слева от точки $$\lim_{x \to 1-0}  \frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны $- \infty$. Прямая x =1 является вертикальной асимптотой.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =  \frac{(-x)^{2}-{3(-x)+3}}{-x-1} =  -\frac{x^{2}+3x+3}{x+1}$ функция не является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $\frac{x^{2}-3x+3}{x-1}=  0 => x^{2}-3x+3=0$. Квадратное уравнение действительных корней не имеет, т.е. точек пересечения с осью Ox нет.
точка пересечения с осью Oy: приравняем $x=0$, получим $f(0) = \frac{0^{2}-3*0+3}{0-1}=  \frac{3}{-1}=-3$. Точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; -3)$
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox, поэтому интервалы знакопостоянства будем рассматривать на ОДЗ.
Определим знак функции на этих интервалах
интервал $(-\infty;1)$ найдем значение функции в любой точке $f(-2) = \frac{(-1)^{2}-3(-1)+3}{-1-1} = -\frac{7}{2}   <  0$, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. находится ниже оси Ox
интервал $(1 ; + \infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(2) = \frac{2^{2}-3*2+3}{2-1} = 1  > 0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x^{2}-3x+3}{x-1})'=  \frac{(x^{2}-3x+3)'*(x-1) - (x^{2}-3x+3)(x-1)'}{(x-1)^2}=$$ $$\frac{(2x-3)*(x-1) - x^{2}+3x-3}{(x-1)^2}=  \frac{2x^2-2x-3x+3- x^{2}+3x-3}{(x-1)^2}=$$ $$=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}= \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$ приравняем к 0 $$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}= 0 => x(x-2) = 0 => x_1=0;x_2=2$$ функция имеет две критические (стационарные) точки. Найдем значение функции в этих точках:
Найдем значение функции в точке $f(0)= -3$, получили координаты критической точки $(0; -3)$
Найдем значение функции в точке $f(2)= 1$, получили координаты критической точки $(2; 1)$

Функция имеет две критические точки и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(-1) =\frac{3}{4}  >  0$, на этом интервале функция возрастает.
интервал $(0; 1)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(0,5)  = -3  <  0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $(1; 2)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(1.5) = -3 <  0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $(2; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(3) = \frac{3}{4} >  0$, на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = 0: $+ \quad 0 \quad -$, т.е. функция имеет точку максимума с координатами $(0; -3)$
для x = 2: $- \quad 0 \quad +$, т.е. функция имеет точку минимума с координатами $(2; 1)$

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{x(x-2)}{(x-1)^2})'= ( \frac{x^2-2x}{(x-1)^2})'=$$ $$= (\frac{x^2-2x}{(x-1)^2})'= \frac{(2x-2)(x-1)^2-2(x-1)(x^2-2x)}{(x-1)^4}=$$ $$= \frac{2(x-1)^2-2(x^2-2x)}{(x-1)^3}=  2\frac{x^2-2x+1-x^2+2x}{(x-1)^3}=  \frac{2}{(x-1)^3}$$ Приравняем к нулю $$\frac{2}{(x-1)^3} = 0 =>$$ Точек возможного перегиба график функции не имеет. Анализируем выпуклость на ОДЗ
интервал $(-\infty; 1)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0) = \frac{2}{(-1)^3}  < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $( 1; +\infty)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(5) =  \frac{2}{4^3}  > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Точки перегиба.
Функция точек возможного перегиба не имеет, т.е. точек перегиба нет.

7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у= \frac{x^{2}-3x+3}{x-1}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}  \frac{x^{2}-3x+3}{x(x-1)} = 1 => k= 1$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.е. $$\lim_{x \to +\infty}(\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} - x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}-3x+3 - x^2 +x}{x-1} =$$ $$= \lim_{x \to +\infty}\frac{-2x+3}{x-1} = -2$$ Получили наклонную асимптоту $y = x-2$
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = + \infty$$ график функции стремится в $+\infty$ $$\lim_{x \to - \infty}\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = -\infty$$ график функции стремится в $+\infty$, горизонтальной асимптоты нет.

8. График функции.