Исследуем функцию \(y= \frac{x^{2}-3x+3}{x-1}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x -1 \ne 0 => x \ne 1 \). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 1
исследуем точку x=1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0} \frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = \frac{1}{+0} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0} \frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( - \infty\). Прямая x =1 является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^{2}-{3(-x)+3}}{-x-1} = -\frac{x^{2}+3x+3}{x+1} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x^{2}-3x+3}{x-1}= 0 => x^{2}-3x+3=0 \). Квадратное уравнение действительных корней не имеет, т.е. точек пересечения с осью Ox нет.
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), получим \( f(0) = \frac{0^{2}-3*0+3}{0-1}= \frac{3}{-1}=-3 \). Точка пересечения с осью Oy имеет координаты \((0; -3)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox, поэтому интервалы знакопостоянства будем рассматривать на ОДЗ.
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{(-1)^{2}-3(-1)+3}{-1-1} = -\frac{7}{2} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((1 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2^{2}-3*2+3}{2-1} = 1 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x^{2}-3x+3}{x-1})'= \frac{(x^{2}-3x+3)'*(x-1) - (x^{2}-3x+3)(x-1)'}{(x-1)^2}= $$$$ \frac{(2x-3)*(x-1) - x^{2}+3x-3}{(x-1)^2}= \frac{2x^2-2x-3x+3- x^{2}+3x-3}{(x-1)^2}= $$$$ =\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}= \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$ приравняем к 0 $$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}= 0 => x(x-2) = 0 => x_1=0;x_2=2 $$ функция имеет две критические (стационарные) точки. Найдем значение функции в этих точках:
Найдем значение функции в точке \(f(0)= -3 \), получили координаты критической точки \((0; -3)\)
Найдем значение функции в точке \(f(2)= 1 \), получили координаты критической точки \((2; 1)\)
Функция имеет две критические точки и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) =\frac{3}{4} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0,5) = -3 < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((1; 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1.5) = -3 < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = \frac{3}{4} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = 0: \( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((0; -3)\)
для x = 2: \( - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((2; 1)\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{x(x-2)}{(x-1)^2})'= ( \frac{x^2-2x}{(x-1)^2})'= $$$$ = (\frac{x^2-2x}{(x-1)^2})'= \frac{(2x-2)(x-1)^2-2(x-1)(x^2-2x)}{(x-1)^4}= $$$$ = \frac{2(x-1)^2-2(x^2-2x)}{(x-1)^3}= 2\frac{x^2-2x+1-x^2+2x}{(x-1)^3}= \frac{2}{(x-1)^3}$$ Приравняем к нулю $$ \frac{2}{(x-1)^3} = 0 => $$ Точек возможного перегиба график функции не имеет. Анализируем выпуклость на ОДЗ
интервал \((-\infty; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{2}{(-1)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 1; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = \frac{2}{4^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция точек возможного перегиба не имеет, т.е. точек перегиба нет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{x^{2}-3x+3}{x-1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}-3x+3}{x(x-1)} = 1 => k= 1 $$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.е. $$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} - x) = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}-3x+3 - x^2 +x}{x-1} = $$$$= \lim_{x \to +\infty}\frac{-2x+3}{x-1} = -2$$ Получили наклонную асимптоту \(y = x-2\)
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = + \infty $$график функции стремится в \(+\infty\)$$\lim_{x \to - \infty}\frac{x^{2}-3x+3}{x-1} = -\infty$$график функции стремится в \(+\infty\), горизонтальной асимптоты нет.
8. График функции.
