Найдем площадь фигуры, ограниченную кривыми \( y=x^3+2; \quad x=0 \quad y=x+6 \quad x = -2 \).
1. Сделаем чертеж, на чертеже обозначим фигуру, площадь которой требуется найти.
2. Найдем площадь фигуры \(ABCD\).
Фигура, ограниченная заданными кривыми - \(ABCD\).
Из рисунка видно, что $$S_{ABCD} = S_{FBCDM} + S_{AFM}$$
В то же время $$S_{FBCDM} = S_{FBCO} - S_{MDO}$$ где FBCO - прямоугольная трапеция, т.е. окончательно получим $$S_{ABCD} = S_{FBCO} - S_{MDO} + S_{AFM} = S_{FBCO} - (S_{MDO} - S_{AFM})$$
Найдем площадь прямоугольной трапеции FBCO по формуле площади трапеции \(S_{трап} = \frac{a+b}{2}h\).
Найдем основания и высоту трапеции
основание \(a = FB = 4\) - равно ординате (y) точки пересечения прямых \(x = -2 \) и (y=x+6), т.е. \(y = -2 + 6 = 4\)
основание \(b = OC = 6\) - равно ординате (y) точки пересечения прямой (y=x+6) и оси Oy,т.е. \(y = 0 + 6 = 6\)
высота \(h = FO = 2\)
тогда площадь трапеции равна $$S_{FBCO} = \frac{4+6}{2}*2=10$$
Найдем площадь \(S = S_{MDO} - S_{AFM}\).
Для нахождения этих площадей воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла - интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^3+2\), осью y = 0, прямыми x = 0 и x = -2.
Нужно учесть, что значение определенного интеграла над осью Ox будет дольше 0 , а значение под осью Ox будет меньше 0, т.е. интеграл нам даст \( S = S_{MDO} - S_{AFM} \), а это нам и нужно, т.е. в данном случае нет необходимости находить координату точки M и искать два определенных интеграла от функции \(y = x^3+2\) на отрезках FM и MO, а затем их вычитать $$\int_{-2}^0 (x^3+2)dx = \frac{1}{4}x^4+2x|_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{4}(-2)^4+2(-2)) = -4+4=0$$Это означает, что \(S_{MDO} = S_{AFM}\).
Окончательно получаем $$S_{ABCD} = S_{FBCO} = 10$$
