Исследуем функцию \( f(x)= \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne 0\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x=0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} = \frac{-3)}{0} = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0} \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} = \frac{-3}{0} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( - \infty\). Ось Oy является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^3+2(-x)^2+7(-x)-3}{2(-x)^2} = \frac{-x^3+2x^2*-7x-3}{2x^2} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2}= 0 \). Находим корни многочлена третьей степени по методу Виета-Кардано и получаем один корень \( x \approx 0.38 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (0.38;0).
точка пересечения с осью Oy: Точек пересечения с осью Oy нет, она является вертикальной асимптотой.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x = 0.38 и одну точку разрыва x = 0, т.е три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = \frac{(-1)^3+2(-1)^2+7(-1)-3}{2(-1)^2} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 0.38)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0.3) =\frac{(0.3)^3+2(0.3)^2+7(0.3)-3}{2(0.3)^2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0.38 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) =\frac{1^3+2*1^2+7*1-3}{2*1^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2})'= \frac{(3x^2+4x+7)*x^2 - 2x*(x^3+2x^2+7x-3)}{2x^4}=$$$$ = \frac{(3x^2+4x+7)*x - 2(x^3+2x^2+7x-3)}{2x^3}= \frac{3x^3+4x^2+7x - 2x^3-4x^2-14x+6}{2x^3}= $$$$= \frac{3x^3+4x^2+7x - 2x^3-4x^2-14x+6}{2x^3}= \frac{x^3-7x+6}{2x^3}$$ приравняем к 0 $$ \frac{x^3-7x+6}{2x^3} = 0 => x^3-7x+6 = 0 => x_1=-3;x_2=1;x_3=2 $$ функция имеет три критические (стационарные) точки. Найдем значение функции в этих точках \(f(-3)= -\frac{11}{6} \approx 1.83 \), получили координаты критической точки \((-3;-\frac{11}{6})\)
Найдем значение функции в этих точках \(f(1)= -\frac{7}{2} \approx 3.5 \), получили координаты критической точки \((1; \frac{7}{2})\)
Найдем значение функции в этих точках \(f(2)= -\frac{28}{7} \approx 3.375 \), получили координаты критической точки \((2; \frac{27}{8})\)
Функция имеет три критические точки и одну точку, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на пять интервалов монотонности.
интервал \((-\infty; -3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) =\frac{15}{64} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-3; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -6 < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0.5) = 10.5 > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1.5) = -1.67 < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = \frac{2}{9} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для x = -3: \( + \quad 0 \quad -\), функция имеет точку максимума с координатами \((-3;-\frac{11}{6})\)
для x = 1: \( + \quad 0 \quad -\), функция имеет точку максимума с координатами \((1; \frac{7}{2})\)
для x = 2: \( - \quad 0 \quad +\), функция имеет точку минимума с координатами \((2; \frac{27}{8})\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{x^3-7x+6}{2x^3})'=\frac{(3x^2-7)*x^3 - 3x^2(x^3-7x+6)}{2x^6}= $$$$ = \frac{(3x^2-7)*x - 3(x^3-7x+6)}{2x^4}= \frac{3x^3-7x - 3x^3+21x-18}{2x^4}=$$$$ = \frac{14x-18}{2x^4}= \frac{7x-9}{x^4}$$ Приравняем к нулю $$ \frac{7x-9}{x^4} = 0 => 7x - 9 = 0 => x = \frac{9}{7}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегибы
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = -16 < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; \frac{9}{7} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = -2 < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( \frac{9}{7}; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = \frac{5}{16} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x =\frac{9}{7}\)- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(\frac{9}{7}) \approx 3.46\).
Координаты точки перегиба \((\frac{9}{7}; 3.46)\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} = + \infty $$график функции стремится в \(+\infty\)$$\lim_{x \to - \infty} \frac{x^3+2x^2+7x-3}{2x^2} = -\infty$$график функции стремится в \(-\infty\), горизонтальной асимптоты нет.
8. Построить график функции.
