Исследовать функцию и построить ее график $y=x \sqrt{1-x}$

Исследуем функцию $y= x \sqrt{1-x}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения : подкоренное выражение больше или равно нулю. $1 - x  \geq 0 => x \leq 1$, т.е.  ОДЗ

$$D_f=(-\infty; 1]$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =(-x) \sqrt{1+x}$ функция не является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $x \sqrt{1-x} =  0 => x_1=0; x_2=1$ Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox в точках  с координатами (0;0) и (1;0).
точка пересечения с осью Oy: приравняем $x=0$, получим $y = \frac{x}{x^2-1} = 0 => y=0$ Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точку пересечения с осью Ox x = 0 и x=1, т.е два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение функции в любой точке $f(-1) =y= (-1) \sqrt{1+1}    <  0$, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. находится ниже оси Ox
интервал $(0; 1)$ найдем значение функции в любой точке $f(0.5) = y= 0.5 \sqrt{1-0.5}  >  0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox.

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = (x \sqrt{1-x})' =  \sqrt{1-x} - x \frac{1}{ 2\sqrt{1-x}} =$$ $$= \frac{2(\sqrt{1-x})^2 - x}{ 2\sqrt{1-x}} = \frac{2(1-x) - x}{ 2\sqrt{1-x}} = \frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}}$$ приравняем к 0 $$\frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}} =0 => 2-3x = 0 => x = \frac{2}{3}$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, поэтому рассмотрим два интервала монотонности .
интервал $(-\infty;  \frac{2}{3})$ найдем значение производной функции в любой точке интервала $f(-1) = \frac{2-3(-1)}{ 2\sqrt{1-(-1)}}    >  0$, на этом интервале производная функции положительная $f'(x) > 0$, функция возрастает.
интервал $( \frac{2}{3}; 1)$ найдем значение производной функции в любой точке интервала $f(0.9) = \frac{2-3(0.9)}{ 2\sqrt{1-(0.9)}}   <  0$, на этом интервале производная функции отрицательная $f'(x) < 0$, функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Для критической точки $x = \frac{2}{3}$ получили,
$+ \quad 0 \quad -$, т.е. функция имеет точку максимума с координатами $(\frac{2}{3};  \frac{2}{3 \sqrt{3}})$

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю

$$y'' = (\frac{2-3x}{ 2\sqrt{1-x}})' = \frac{-3\sqrt{1-x} + \frac{1}{ 2\sqrt{1-x}}(2-3x)}{2(1-x)} =$$ $$=  \frac{-6(1-x) + 2-3x}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}} =  \frac{3x-4}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}}$$ Приравняем к нулю $$\frac{3x-4}{4(1-x)^{\frac{3}{2}}} = 0 => 3x-4 = 0 => x = \frac{4}{3}$$ Получили точку $x = \frac{4}{3}$ - точка вышла за пределы ОДЗ. Рассмотрим интервалы выпуклости на ОДЗ:
1. интервал $(-\infty; 1)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0) = \frac{3*0-4}{4(1-0)^{\frac{3}{2}}} < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Точки перегиба.
Функция не имеет точек возможного перегиба, т.е. точек в которых вторая производная равна нулю (полученная точка не попала в ОДЗ), поэтому точек перегиба нет.

7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Нет (нет точек разрыва п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у= x \sqrt{1-x}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его (ищем предел на $-\infty$, т.е. на ОДЗ) $$\lim_{x \to -\infty}  x \sqrt{1-x} = \infty => k= \infty$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен $\infty$, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{1-x} = - \infty$$ т.е. кривая горизонтальных асимптот не имеет

8. График функции.