Найдем производную функции, заданную параметрически \( \begin{cases}x= \arcsin(t^2-1)\\ y= \arccos(2t) \end{cases}\)
Производная функция, заданной параметрически находится по формуле $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \quad (1)$$
Найдем производные функций \(x(t)\) и \(y(t)\)
1. Производная функции \(x(t)\) $$x(t))' = ( \arcsin(t^2-1))' =$$$$ = \frac{2t}{\sqrt{1 - (t^2-1)^2}} = \frac{2t}{\sqrt{t^2(2-t^{2})}} $$
2. Производная функции \( y(t)\) $$(y(t))' = ( \arccos(2t))' = $$$$ =- \frac{2}{ \sqrt{1 - (2t)^2}} = -\frac{2}{ \sqrt{1 - 4t^2}}$$
Применим формулу (1) для нахождения производной функции $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = -\frac{ \frac{2}{ \sqrt{1 - 4t^2}}}{ \frac{2t}{\sqrt{t^2(2-t^{2})}}} = -\frac{\sqrt{t^2(2-t^{2})}}{t\sqrt{1 - 4t^2}}$$Ответ: производная функции, заданной параметрически равна \( -\frac{\sqrt{t^2(2-t^{2})}}{t\sqrt{1 - 4t^2}}\)
