Найдем производную функции, заданную параметрически \( \begin{cases}x= \sqrt{2t-t^{2}} \\ y=arcsin(t-1)\end{cases} \)
Производная функция, заданной параметрически находится по формуле $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \quad (1)$$
Найдем производные функций \(x(t)\) и \(y(t)\)
1. Производная функции \(x(t)\) $$x(t))' = ( \sqrt{2t-t^{2}})' =$$$$ = \frac{2-2t}{2\sqrt{2t-t^{2}}} = \frac{1-t}{\sqrt{2t-t^{2}}} $$
2. Производная функции \( y(t)\) $$(y(t))' = (arcsin(t-1))' = $$$$ = \frac{1}{ \sqrt{1 - (t-1)^2}} = \frac{1}{ \sqrt{1 - t^2 +2t -1}} = \frac{1}{ \sqrt{ 2t -t^2}}$$
Применим формулу (1) для нахождения производной функции $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{ 2t -t^2}}}{\frac{1-t}{\sqrt{2t-t^{2}}}} = \frac{1}{1-t}$$Ответ: производная функции, заданной параметрически равна \( \frac{1}{1-t}\)
