В задании дана формула приближенного вычисления синуса по формуле Тейлора (Маклорена) при \(x_0=0\) $$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}$$ записали разложение в ряд Маклорена функции синуса, рассмотрим первые два члена ряда \( \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!}\).
1. Найдем сумму первых двух членов ряда.
Подставим значение x=0.5 и рассчитаем значение синуса $$ \sin(0.5) = 0.5 - \frac{0.5^3}{3!} \approx 0.47917$$
2.Проведем оценку погрешности полученного результата.
Для знакочередующегося ряда абсолютная погрешность \( \sigma\) частичной суммы \(S_{n}\) не превосходит по модулю \(n+1\) члена ряда, т.к. в разложении только два члена, то не более третьего, запишем это для нашего случая $$ \sigma \leq |\frac{x^5}{5!}| => \sigma \leq |\frac{(\frac{1}{2})^5}{5!}| =>$$$$ \sigma \leq 0.00026 => \sigma < 3*10^{-3}$$
3. Проверим расчеты.
Рассчитаем на ПК \(\sin(0.5)=0.47943\), по формуле Тейлора получили \( \sin(0,5) = 0.47917\), вычитаем Δ=0.47943-0.47917=0,00026. Действительно, получили погрешность меньше \(3*10^{-3}\)
Ответ: \(\sin(0,5) \approx 0.47917\) с погрешностью \(\sigma < 3*10^{-3}\)
