Найдем разложение функций по степеням указанного бинома: \( f(x) = e^x \), при x =1.
Запишем ряд Тейлора для функции f(x) $$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \quad (1)$$
Структура решения задачи
1. Найдем производные заданной функции:
\( f'(x) = (e^x)' = e^x\)
\( f''(x) = (e^x)'' = e^x\)
\( *******************\)
\( f^{(n)}(x) = (e^x)^{(n)} = e^x \)
Производные получились не сложные.
2. Находим значение функции и производных в точке \(x=1\) (т.е. \(x_0=1\))
\(f(1) = e^1 = e\)
\(f'(1) = e^1 = e\)
\( **************\)
\( f^{(n)}(1) = e^1 = e\)
3. Подставляем полученный результат в формулу Тейлора (1)
$$f(x) =e + \frac{e}{1!}(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1)^2+ ... +\frac{e}{n!}(x-1)^n = e( 1 + \frac{x-1}{1!}+\frac{(x-1)^2}{2!}+ ... +\frac{(x-1)^n}{n!})$$
