Согласно определения приращения функции приращение функции равно \(Δf(x_0) = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = > f(x_0 + Δx) = f(x_0) + Δf(x_0)\), заменим приращение функции дифференциалом, получим формулу \(f(x_0 + Δx) \approx f(x_0) + df(x_0)\) где \( df(x_0) = f'(x_0)*dx\) - дифференциал функции, т.о расчетная формула примет вид $$f(x_0 + Δx) \approx f(x_0) + f'(x_0)*dx \quad (1)$$
Решение:
находим приближенное значение \( \sqrt[4]{0.98} \)
1. Выбираем значение \( x_0\) при котором корень можно найти, в данном случае удобно взять \(x_0 = 1\)
2. Рассчитываем \(dx = Δx = 0.98 -1 = - 0.02\), т.к. \( x_0 + Δx = 0.98 => Δx = 0.98 - x_0 = 0.98 - 1 \)
3. Находим \( f(x_0) = \sqrt[4]{1} = 1 \)
4. Находим производную функции \(f'(x) = ( \sqrt[4]{x})' = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}\)
5. Находим значение производной \( f'(x_0)\). \( f'(1) = \frac{1}{4*1} = \frac{1}{4}\)
6. Подставляем в формулу (1) для расчета приближенного значения $$ \sqrt[4]{0.98} \approx 1 - \frac{1}{4}*0.02 = 0.995$$
7. Проверяем решение на калькуляторе \( \sqrt[4]{0.98} \approx 0.99496\)
находим приближенное значение \( \sqrt{15} \)
1. Выбираем значение \( x_0\) при котором корень можно найти, в данном случае удобно взять \(x_0 = 16\)
2. Рассчитываем \(dx = Δx = 15 -16 = - 1\), т.к. \( x_0 + Δx = 15 => Δx = 15 - 16 = - 1 \)
3. Находим \( f(x_0) = \sqrt{16} = 4 \)
4. Находим производную функции \(f'(x) = ( \sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
5. Находим значение производной \( f'(x_0)\). \( f'(16) = \frac{1}{2*4} = \frac{1}{8}\)
6. Подставляем в формулу (1) для расчета приближенного значения $$ \sqrt{15} \approx 4 - \frac{1}{8}*1 = 3.875$$
7. Проверяем решение на калькуляторе \( \sqrt{15} \approx 3.87298\)
