Исследуем функцию \( y=\ln\frac{x-1}{x-2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, а областью определения логарифма - выражение под знаком логарифма больше 0, получаем систему для нахождения ОДЗ $$\begin{cases}x -2 \ne 0\\\frac{x-1}{x-2} > 0\end{cases} =>\begin{cases}x \ne 2 \\ (x-1)(x-2) > 0\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}x \ne 2 \\ x 2\end{cases} => x \in (-\infty;1) \cup (2; +\infty)$$
ОДЗ \(x \in (-\infty;1) \cup (2; +\infty)\)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \ln\frac{-x-1}{-x-2} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\ln \frac{x-1}{x-2} = 0 => \frac{x-1}{x-2} = 1 => x-1 = x-2 => -1 \ne -2 \) Кривая точек пересечения с осью Ox не имеет.
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\), получим \( y =\ln \frac{0-1}{0-2}= - \ln(2) => y= - \ln(2) \approx -0.69 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0; - \ln(2)).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая не имеет точек пересечения с осью Ox, поэтому рассмотрим интервалы ОДЗ
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \ln \frac{-01}{0-2} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(3) =\ln \frac{3-1}{3-2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\ln\frac{x-1}{x-2})' = \frac{1}{\frac{x-1}{x-2}}*\frac{x-2 - x+1}{(x-2)^2} = $$$$= \frac{x-2}{x-1}*\frac{-1}{(x-2)^2}= -\frac{1}{(x-1)(x-2)} $$ приравняем к 0 $$ -\frac{1}{(x-1)(x-2)} \ne 0 $$ функция не имеет критических (стационарных) точек.
Рассмотрим интервалы монотонности на ОДЗ
интервал \((-\infty; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -\frac{1}{(0-1)(0-2)} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(5) = -\frac{1}{(5-1)(5-2)} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Критические точки - точки вероятного экстремума, этих точек функция не имеет, значит нет и экстремумов.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-\frac{1}{(x-1)(x-2)})' = -(\frac{1}{x^2-3x+2})' = \frac{2x-3}{(x^2-3x+2)^2} $$ Приравняем к нулю $$ \frac{2x-3}{(x^2-3x+2)^2} = 0 => 2x-3 = 0 => x = \frac{3}{2}$$ Точка вероятного перегиба не попала в ОДЗ. Рассмотрим интервалы выпуклости на ОДЗ
интервал \((-\infty; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{2*0-3}{(0^2-3*0+2)^2} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = \frac{2*3-3}{(3^2-3*3+2)^2} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек вероятного перегибы, т.е. точек у которых вторая производная равна 0, поэтому точек перегиба нет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение рафика функции на концах интервала $$\lim_{x \to 1-0} \ln\frac{x-1}{x-2} = -\infty $$$$\lim_{x \to 2+0} \ln\frac{x-1}{x-2} = +\infty $$ Получили две вертикальные x = 1 и x = 2
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\ln\frac{x-1}{x-2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\ln\frac{x-1}{x-2} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x-1}{x-2} = +0$$т.е. кривая приближается к асимптоте сверху$$\lim_{x \to - \infty} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = -0$$т.е. кривая приближается к асимптоте снизу
График функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\)
8. График функции.
