Исследуем функцию \( y=\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю. Найдем x при которых знаменатель равен нулю \(x+1 = 0 => x= -1\), т.е. ОДЗ $$D_f=(-\infty; -1) \cup (-1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = -1
исследуем точку x=-1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -1+0} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}= \frac{8*(-2)}{(-1+0 +1)^2} = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -1-0} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}= \frac{8*(-2)}{(-1-0 +1)^2} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( - \infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{8(-x-1)}{(-x+1)^{2}} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = 0 => x=1 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (1;0).
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\), получим \( y = \frac{8(0-1)}{(0+1)^{2}} = -8 => y= -8 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;-8).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox x = 1 и одну точку разрыва x = -1, т.е три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-8) = \frac{8(-9-1)}{(-9+1)^{2}} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((-1; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{8(0-1)}{(0+1)^{2}} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((1 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{8(2-1)}{(2+1)^{2}} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}})' = 8\frac{(x+1)^{2} - (x-1)*2(x+1)}{(x+1)^{4}} = $$$$ =8\frac{(x+1) - 2(x-1)}{(x+1)^{3}} = -8\frac{x-3}{(x+1)^{3}}$$ приравняем к 0 $$ -8\frac{x-3}{(x+1)^{3}} = 0 => x = 3 $$ функция имеет критическую (стационарную) точку x = 3, найдем значение функции в этой точке \(f(3)=\frac{8(3-1)}{(3+1)^{2}} = 1 \), получили координаты критической точки (3;1)
Функция имеет одну критическую точку x = 3 и точку x = -1, в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = -8\frac{-2-3}{(-2+1)^{3}} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((-1; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -8\frac{0-3}{(0+1)^{3}} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(5) = -8\frac{5-3}{(5+1)^{3}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку. Для критической точки x = 3 получили,
\( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами (3;1)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-8\frac{x-3}{(x+1)^{3}})' = -8\frac{(x+1)^{3} - (x-3)*3(x+1)^{2}}{(x+1)^{6}}=$$$$ =-8\frac{(x+1) - 3(x-3)}{(x+1)^{4}}=16\frac{x-5}{(x+1)^4}$$ Приравняем к нулю $$ 16\frac{x-5}{(x+1)^4} = 0 => x =5$$ Точки x=5 и точка разрыва x=-1 делят ось на три интервала выпуклости
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = 16\frac{-2-5}{(-2+1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-1; 5)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 16\frac{0-5}{(0+1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((5; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(6) = 16\frac{6-5}{(6+1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет точку, при которой вторая производная равна 0, точку возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, получаем
\( - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(5) = \frac{8(5-1)}{(5+1)^{2}} = \frac{8}{9}\).
Координаты точки перегиба \((5; \frac{8}{9})\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = -1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = +0$$т.е. кривая приближается к асимптоте сверху$$\lim_{x \to - \infty} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = -0$$т.е. кривая приближается к асимптоте снизу
График функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\)
8. Построить график функции.
