Решим систему линейных уравнений матричным методом $$\begin{cases} x_1+2x_2-x_3=9\\2x_1-x_2+3x_3=13\\ 3x_1 +2x_2-5x_3=-1\end{cases}$$
Исходную систему уравнений можно представить в матричном виде $$Ax=b$$ где $$A = \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\2 &-1 & 3\\ 3 & 2 & -5\end{array}\right) \quad x = \left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) \quad B = \left(\begin{array}{c} 9\\ 13\\ -1\end{array}\right)$$ Решением этого уравнения будет $$x = A^{-1}b$$
Решать неоднородную систему линейных уравнений будем методом Гаусса.
Структура решения системы неоднородных линейных уравнений
1. Составляем расширенную матрицу системы $$(A|b) = \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1 9\\2 &-1 & 3 \\ 3 & 2 & -5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ 13\\ -1 \end{array}\right.\right) =$$
2. Приводим матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками полученной матрицы \( (A|b)\). В качестве ведущего элемента лучше взять элемент первого столбца с коэффициентом равным одному \( a_{11} =1\). Все элементы первого столбца ниже ведущего приведем к нулю при помощи элементарных преобразований строк.
Умножим первую строку на 2 и вычтем из второй строки $$ \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 &-5 & 5 \\ 3 & 2 & -5 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ -5\\ -1 \end{array}\right.\right) =$$
Далее, умножим первую строку на 3 и вычтем из третьей строки $$=\left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 &-5 & 5 \\ 0 & -4 & -2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ -5\\ -28 \end{array}\right.\right) =$$
Выбираем в качестве ведущего элемент \(a_{22}\). Для упрощения расчетов нужно, чтобы он был равен 1, для этого можно вынести -5 из строки. $$ =\left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & -2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ 1\\ -28 \end{array}\right.\right) =$$ Получили ведущий элемент \( a_{22} = 1\). Умножаем вторую строку на 4 и складываем с третьей строкой $$ = \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -6 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ 1\\ -24 \end{array}\right.\right) =$$ Выносим из последней строки -6, получаем $$= \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ 1\\ 4 \end{array}\right.\right) = $$
3. Ранг матрицы. Получили, что ранг матрица \(A\) равен равен рангу расширенной матрицы \((A|b)\) (число ненулевых строка в матрицах) и равен числу неизвестных$$n =rg(A|b) = rgA =3$$ согласно теоремы Кронекера-Капелли система уравнений совместна, т.е. имеет решения, а так как ранг матриц равен числу неизвестных , то все неизвестные будут базисными, т.е. система имеет единственное решение.
4. Приводим матрицу к упрощенному виду (обратный ход Гаусса).
Складываем вторую и третью строки, результата записываем во вторую строку $$ = \left(\begin{array}{c}1 &2 &-1\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 9\\ 5\\ 4 \end{array}\right.\right) =$$
Складываем первую и третью строки, результата записываем в первую строку $$ = \left(\begin{array}{c}1 &2 &0\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 13\\ 5\\ 4 \end{array}\right.\right) = $$
Умножим вторую строку на два и вычитаем из первой строки $$ = \left(\begin{array}{c}1 &0 &0\\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 4 \end{array}\right.\right)$$ получили \(x_1 = 3; x_2 = 5; x_3 = 4\)
5. Решение системы уравнений $$ x = \left(\begin{array}{c} 3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$$
