Исследуем функцию \(y = x^3*e^{-x}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции $$D_f=(-\infty;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. область определения \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)^3*e^{x} \) функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( x^3*e^{-x} = 0 => x = 0\) , т.е кривая пересекает ось Ox в точке с координатами (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y = x^3*e^{-x} => y =0\), точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили точку пересечения с осью Ox с координатами (0;0), она разделила ось на два интервала знакопостоянства функции. Рассматриваем интервал знакопостоянства на интервале области определения \( (-\infty; +\infty) \)
Определим знак функции на интервалах
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = x^3*e^{-x} < 0 \), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = x^3*e^{-x} > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( x^3*e^{-x})' = 3x^2*e^{-x} - x^3*e^{-x} = $$$$ = e^{-x}x^2(3 - x)$$ приравняем к 0 $$ e^{-x}x^2(3 - x) = 0 => x^2(3 - x) = 0 =>$$$$ x_1=0; \quad x_2 = 3$$ функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Они делят область определения на три интервала монотонности
Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = e^{-x}x^2(3 - x) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = e^{-x}x^2(3 - x) > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(5) = e^{-x}x^2(3 - x) < 0 \), т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили на исследуемом интервале одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка \(x= 0\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad + \quad\) - производная знак не поменяла, т.е. экстремумом не является
точка \(x= 3\) производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\) - производная знак поменяла, это точка максимума. Координаты точки максимума \(f( 3) = 3^3*e^{-3} \approx 1.34\) => \((3; 1.34)\)
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-e^{-x}(-3+x) x^2)' = (-e^{-x}(-3x^2+x^3) )' = $$$$= e^{-x}(-3x^2+x^3) - e^{-x}(-6x+3x^2) = e^{-x} x (6-6x+x^2)$$ Приравняем к нулю $$ e^{-x} x (6-6x+x^2) = 0 => x (6-6x+x^2) = 0 =>$$$$ x_1 =0; \quad x_{2,3} = 3 \pm \sqrt{3} $$
Для анализа этих точек рассмотрим четыре интервала выпуклости
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = e^{-x} x (6-6x+x^2) < 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0;3 - \sqrt{3}\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = e^{-x} x (6-6x+x^2) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \(( 3 - \sqrt{3};3 + \sqrt{3})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(4) = e^{-x} x (6-6x+x^2) < 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 3 + \sqrt{3};+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(5) = e^{-x} x (6-6x+x^2) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке \(x = 0\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами \((0;0)\).
В точке \(x = 3-\sqrt{3}\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами \((1.27;0.57)\).
В точке \(x = 3+\sqrt{3}\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба с координатами \((4.73;0.97)\).
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. область определения \(x \in R\)
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = x^3*e^{-x} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{ x^3*e^{-x}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} x^3*e^{-x} = 0$$$$\lim_{x \to -\infty} x^3*e^{-x} = -\infty $$Получили, что график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\) при \( x \to \infty\).
8. Построить график функции.
