Рішення:
Канонічне рівняння прямої лінії будемо отримувати у вигляді $$ \frac{x-x_1}{m} = \frac{y-y_1}{n} = \frac{z-z_1}{p} \quad (1)$$ рівняння прямої, що проходить через задану точку,
де \(x_1;y_1;z_1\) - координати точки, яка належить прямій
де \( \vec{s} = (m; n; p)\) - напрямний вектор прямої лінії.
Лінія задана за допомогою системи рівнянь двох площин, для яких ця пряма є їх лінією перетину: $$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0 \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0\end{cases} $$ де \( \vec{N_1} = (A_1;B_1;C_1)\) і \( \vec{N_2} = (A_2;B_2;C_2)\) вектора нормалі кожної з даних площин, тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде вектор \( \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2}\)
Для вирішення завдання потрібно знайти:
1. точку, яка належить прямій
2. напрямний вектор
1. Шукаємо точку, яка належить прямій
Візьмемо будь-яку точку даної прямої. Припустімо, наприклад, \(z = 0\), останні дві координати знаходим із системи рівнянь $$ \begin{cases} 2х+3у+9z-5=0 \\ 3х-4у-6z-2=0 \end{cases} => $$$$ \begin{cases}2х+3у-5=0 \\ 3х-4у-2=0 \end{cases} => \begin{cases}6х+9у-15=0 \\ 6х-8у-4=0 \end{cases} => $$$$ \begin{cases} 17у-11=0 \\ 6х-8у-4=0 \end{cases} => \begin{cases} y = \frac{11}{17} \\ x = \frac{26}{17} \end{cases}$$ Отримали координати точки, яка належить прямій \(( \frac{26}{17} ; \frac{11}{17}; 0)\)
2. Шукаємо напрямний вектор прямої лінії.
З рівнянь площ знайдемо вектора нормалі кожної з даних площин, що при перетині утворюють пряму лінію, є \( \vec{N_1} = (2;3;9)\) і \( \vec{N_2} = (3;-4;-6)\). Тоді напрямним вектором даної прямої лінії буде $$ \vec{s} = \vec{N_1} \times \vec{N_2} = \begin{vmatrix}i & j & k \\ 2 & 3 & 9 \\ 3 & -4 & -6\end{vmatrix} = $$$$ = (-1)^{1+1}i(3*(-6) - (-4)9)+(-1)^{1+2}j(2*(-6)-3*9)+$$$$ + (-1)^{1+3}(2*(-4)-3*3) = 18i+39j-17k $$ Отримали напрямний вектор \( \vec{s} = (18;39;-17)\)
3. Шукаємо канонічне рівняння прямої лінії:
Підставимо отримані координати точки і координати направляючого вектора в канонічне рівняння прямої (1)
$$ \frac{x- \frac{26}{17}}{18} = \frac{y-\frac{11}{17}}{39} = - \frac{z}{17} $$
Відповідь: канонічне рівняння прямої лінії \( \frac{x- \frac{26}{17}}{18} = \frac{y-\frac{11}{17}}{39} = - \frac{z}{17} \)
