1) приращение z при переходе от точки A к точке B;
Полное приращение функции двух переменных \( z=f(x;y) \) в точке M(x;y) определяется формулой $$Δz =f(x+Δx;y+Δy) - f(x;y) \quad (1)$$, а частные приращения по \(x\) и по \(y\) в той же точке соответственно $$Δ_xz =f(x+Δx;y) - f(x;y)$$$$Δ_yz =f(x;y+Δy) - f(x;y)$$ Координату точки B(1,08;-2,94) можно представить в виде B(1+0,08;3-0,06), т.е. нам нужно найти полное приращение, находим его путем подстановки координат точек в уравнение (1) $$Δz =f(x+Δx;y+Δy) - f(x;y) = x_B^2+y_B^2-x_B-y_B - (x_A^2+y_A^2-x_A-y_A) = $$$$ =(1.08)^2+(-2.94)^2-1.08+2.94 -(1^2+(-3)^2-1+3) = - 0.33$$
2) дифференциал z в точке A;
Для нахождения дифференциала \(z\) в точке A воспользуемся формулой полного дифференциала функции двух переменных $$dz =\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \quad (2)$$
найдем частные производные по x и y от функции z=f(x;y)
$$ \frac{\partial z}{\partial x}= \frac{\partial(x^2+y^2-x-y)}{\partial x}=2x-1$$
$$ \frac{\partial z}{\partial y}= \frac{\partial(x^2+y^2-x-y)}{\partial y}=2y-1$$
рассчитаем приращения по \(x\) и \(y\) при переходе от точки A(1;-3) к B(1,08;-2,94)
\( dx = Δx = x_B-x_A = 1,08 - 1 = 0.08\)
\( dy = Δy = y_B-y_A = -2,94 + 3 = 0.06\)
Подставляем координаты точки A(1;-3) и приращения в формулу полного дифференциала (2)
$$dz = (2x-1)Δx + (2y-1)Δy = (2*1-1) *0.08 + (2*(-3)-1)*0.06 = -0.34 $$
3) касательную и нормаль к поверхности \(F(x,y,z) = 0\) в точке A;
Запишем уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности \( z = x^2+y^2-x-y => x^2+y^2-x-y - z = 0 =>\) $$ F(x;y;z) = x^2+y^2-x-y -z $$
Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид $$f'_x(x_0)(x-x_0) + f'_y(y_0)(y-y_0) + f'_z(z_0)(z-z_0) = 0 \quad (3)$$
найдем значение функции в точке A(1;-3) \( f(A) = x^2+y^2-x-y = 1+9 -1+3=12 \) Получили третью координату точки A(1;-3;12)
\( F'_x = 2x - 1 => \) подставляем координаты точки A(1;-3;12) \( F'_x(1;-3; 12) = 1\)
\( F'_y = 2y - 1 => \) подставляем координаты точки A(1;-3;12) \( F'_y(1;-3; 12) = -7\)
\( F'_z = -1 => \) подставляем координаты точки A(1;-3;12) \( F'_y(1;-3; 12) = -1 \)
Подставляем в (3) и получаем уравнение касательной плоскости
$$1*(x-1) - 7(y+3) - (z - 12)= 0 => x-1 -7y-21 -z +12 = 0 => $$$$ x - 7y - z -10 = 0 $$
Уравнение нормали к данной поверхности в той же точке имеет вид $$ \frac{x-x_0}{f'_x(x_0)}= \frac{y-y_0}{f'_y(y_0)} = \frac{z-z_0}{f'_z(z_0)}$$ подставляем
$$ \frac{x-1}{1}= \frac{y+3}{-7} = \frac{z - 12}{-1}$$ получили уравнение нормали к поверхности.
4) экстремумы z;
1. необходимое условие существования экстремума.
Найдем координаты критической (стационарной) или по другому - точки вероятного экстремума. т.е. это точки в которых \( \partial(x_0;y_0) = 0 < = > \) это равносильно системе уравнений $$\begin{cases}f'_x(x_0;y_0) =0 \\ f'_y(x_0;y_0)=0\end{cases}$$ решая систему уравнений найдем координаты критической точки \( M_0(x_0;y_o)\) - точки вероятного экстремума.
Решение:
$$\begin{cases}2x - 1 =0 \\ 2y - 1=0\end{cases} => \begin{cases}x= \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$$координаты критической точки \(M(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\)
2. Достаточное условие экстремума.
Установили, что функция имеет критическую точку, проверим, является ли она экстремумом и каким или нет.
Условия существования экстремума:
Обозначим $$ A = f''_{xx}(x_0;y_0), \quad B = f''_{xy}(x_0;y_0), \quad C = f''_{yy}(x_0;y_0)$$ $$Δ = AC - B^2 \quad (4)$$ тогда
1. если \( Δ > 0 \), то функция \( f(x;y)\) имеет экстремум в точке \( M_0\) :
точка максимума если \( A < 0 \) или \( C < 0 \)
точка минимума если \( A > 0 \) или \( C > 0 \)
2. если \( Δ < 0 \), то экстремумов в точке \( M_0\) нет
Решение:
\( A = f''_{xx}(x_0;y_0) = (2x-1)'_x = 2\)
\( B = f''_{xy}(x_0;y_0) = 0\)
\( C = f''_{yy}(x_0;y_0) = (2y-1)'_y = 2\)
Подставляем в (4)
$$Δ = AC - B^2 => Δ = 2*2 - 0 = 4$$
Получили: \( Δ = 4 > 0 \quad A > 0 \quad C > 0 \) - точка минимума, причем \( \min f(x;y) = f( \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\)
