Эта задача относится к типу задач, которые решаются по схеме Бернулли. В данном случае n=1000 велико \( n \to \infty \), в тоже время вероятность p = 0.0001, \( p \to 0\), \( n*p \to \lambda\), т.е. когда проводят большое число наблюдений «редких» событий \(np \approx npq \) в нашем случае как раз и имеем \(0.1 \approx 0.0999 \) . В этом случае имеем вероятность находится по формуле$$P_n{k} \approx \frac{\lambda^k }{k!}e^{-\lambda}, к = 1,2....$$ которая называется Пуассоновским распределением.
Найдем вероятность события A того, что тираж содержит не более 3-х бракованных книг. Это означает, что бракованных книг может быть 0,1,2,3. Найдем каждую вероятность при этом \( \lambda = np = 1000*0.0001=0.1\)
1. при k = 0 $$P_{1000}{0} \approx \frac{\lambda^0 }{0!}e^{-\lambda} = \frac{1}{e^{0.1}} \approx 0,90484$$
2. при k = 1 $$P_{1000}{1} \approx \frac{\lambda^1 }{1!}e^{-\lambda} = \frac{0.1}{e^{0.1}} \approx 0,09048$$
3. при k = 2 $$P_{1000}{2} \approx \frac{\lambda^2 }{2!}e^{-\lambda} = \frac{0.1^2 }{2e^{0.1}} \approx 0,00452$$
4. при k = 3 $$P_{1000}{3} \approx \frac{\lambda^3 }{3!}e^{-\lambda} = \frac{0.1^3 }{6e^{0.1}} \approx 0,00015$$
Находим вероятность события A $$P_{1000}(0 \leq A \leq 3) = P_{1000}{0}+P_{1000}{1} +P_{1000}{2} +P_{1000}{3} \approx $$$$ \approx 0.90484 + 0.09048 + 0.00452 + 0.00015 = 0.9999$$Ответ: вероятность того, что в тираже будет не более трех бракованных книг равна \( P_{1000}(0 \leq A \leq 3) \approx 0.9999\)
