Введем обозначение событие А – саженец прижился, тогда \(p(A) = 0,8 => q(A) = 0,2\).
Данная задача на применение интегральной теоремы Лапласа
По интегральной теореме Лапласа, вероятность появления события А не менее \(m_1\) раз и не более \(m_2\) раз в \(n\) независимых испытаниях приближённо равна $$P_n(m_1 \leq m \leq m_2) \approx \phi(x_2) - \phi(x_1) \quad (1)$$ где \( \phi(x)\) - табличная функция Лапласа, \(x = \frac{m - np}{ \sqrt{npq}}\).
Согласно условий задачи получаем \(n = 400\), в задаче говорится, что нормально приживутся не менее 250 саженцев, т.е. \( 250 \leq m \leq 400\), т.е. \( m_1 = 250; \quad m_2 = 400\)
Рассчитаем \(x_1;x_2\)
$$x_1 = \frac{m_1 - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{250 - 400*0.8}{ \sqrt{400*0.8*0.2}} = -8.75$$
$$x_2 = \frac{m_2 - np}{ \sqrt{npq}} = \frac{400 - 400*0.8}{ \sqrt{400*0.8*0.2}} = 10 $$
Подставляем полученные значения в формулу (1)
$$P_{400}(250 \leq m \leq 400) \approx \phi(10) - \phi(-8,75) \quad (1)$$
Функция Лапласа - нечетная функция, т.е. \(\phi(-x) = - \phi(x)\) подставляем в (2)
$$P_{400}(250 \leq m \leq 400) \approx \phi(10) + \phi(8,75) = $$ Ищем значение функции Лапласа в таблице \(\phi(10) \approx 0.499999 \), \(\phi(8.75) \approx 0.499999 \)
$$P_{400}(250 \leq m \leq 400) \approx 0.499999 + 0.499999 = 0.999998$$
