Даны координаты вершин пирамиды \(А_1А_2А_3А_4\). Координаты точек:А1(4;-1;3) А2(-2;1;0) А3(0;-5;1) А4(3;2;-6)
1) Найти длины ребер \(А_1А_2;А_1А_3;А_1А_4\).
Длину ребер пирамиды (любой фигуры) будем рассматривать как расстояние между точками. Расстояние между точками ищется по формуле $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$подставляем координаты точек в формулу и получаем длины ребер
$$А_1А_2 = \sqrt{(-2-4)^2+(1+1)^2+(0-3)^2} = 7$$
$$А_1А_3 = \sqrt{(0-4)^2+(-5+1)^2+(1-3)^2} = 6$$
$$А_1А_4 = \sqrt{(3-4)^2+(2+1)^2+(-6-3)^2} = \sqrt{91}$$
2) Угол между ребрами \(А_1А_2\) и \(А_1А_4\).
Для того чтобы найти угол между ребрами, найдем уравнения прямых этих ребер, а затем угол между прямыми. Уравнения прямых будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $$ \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Подставляем координаты точек и получаем уравнения прямых \(А_1А_2 = \frac{x-4}{-2-4} = \frac{y+1}{1+1} = \frac{z-3}{0-3} =>\) $$ А_1А_2 = \frac{x-4}{-6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{-3} $$
\(А_1А_4 = \frac{x-4}{3-4} = \frac{y+1}{2+1} = \frac{z-3}{-6-3} =>\) $$ А_1А_4 = \frac{x-4}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-9}$$
Угол между прямыми находится по формуле $$ \cos\phi = \frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{ \sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} \sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$ где \( S_1(l_1;m_1;n_1)\) направляющий вектор первой прямой \( S_2(l_2;m_2;n_2)\) - второй прямой. Поставляем координаты направляющих векторов $$ \cos \widehat{A_4A_1A_2} = \frac{(-6)(-1) + 2*3+(-3)(-9)}{ \sqrt{(-6)^2+2^2+(-3)^2} \sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = \frac{6+6+27}{\sqrt{36+4+9} * \sqrt{1+9+81}} = \frac{39}{7*\sqrt{91}} => \widehat{A_4A_1A_2} \approx 34^0$$
3) Площадь грани \(А_1А_2А_3\).
В основании лежи треугольник у которого уже известны стороны \(A_1A_2 = 7\) и \(A_1A_3 = 6\), координаты всех точек, т.е. можно найти длину третьей стороны и воспользоваться формулой Герона для нахождения площади, можно зная длину основания \(A_1A_2 \) и уравнение прямой \( A_1A_2\) найдем расстояние от точки \(A_3\) до этой прямой это будет высота треугольника и найдем площадь по формуле \( S = \frac{1}{2}ah \).
Найдем третью сторону и воспользуемся формулой Герона $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$ $$А_2А_3 = \sqrt{(0+2)^2+(-5-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{41}$$ тогда полупериметр равен \( p = \frac{6+7+\sqrt{41}}{2} = \frac{13+\sqrt{41}}{2}\) $$S = \sqrt{ \frac{13+\sqrt{41}}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-12}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-14}{2}* \frac{13+\sqrt{41}-2\sqrt{41}}{2}} = $$$$ = \sqrt{ \frac{13+\sqrt{41}}{2}* \frac{1+\sqrt{41}}{2}* \frac{\sqrt{41}-1}{2}* \frac{13-\sqrt{41}}{2}} = $$ воспользуемся формулой сокращенного умножения - формулой разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) $$ = \frac{1}{4}\sqrt{ (13^2-41)(41-1)} = \frac{32}{4} \sqrt{5} = 8 \sqrt{5}$$
4)Уравнение прямой \(А1А2\).
Уравнение прямой было найдено в п.2
$$ А_1А_2 = \frac{x-4}{-6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{-3} $$
5) Уравнение плоскости \(А_1А_2А_3\).
Известны координаты точек \(А_1(4;-1;3), А_2(-2;1;0), А_3(0;-5;1)\)
Запишем уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки в координатной форме $$\left|\begin{array}{c} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$$ Подставляем координаты точек $$\left|\begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \\ 0-4 & -5+1 & 1-3 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} x-4 & y+1 & z-3\\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end{array}\right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4)2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12(y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $$$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Уравнение плоскости $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$
6) Уравнение высоты, опущенной из вершины \(А_4\) на грань \(А_1А_2А_3\).
Известны координаты точки \(А_4(3;2;-6) \), уравнение плоскости, в которой лежит грань \(A_1A_2A_3\) \(-x+2z-2=0\) з этого уравнения получим координаты нормального вектора к плоскости \( \vec{N}=(-1;0;2) \). Этот вектор является направляющим вектором прямой, подставим координаты вектора в каноническое уравнение прямой и координаты точки \(A_4\) \( \frac{x-3}{-1} = \frac{y-2}{0} = \frac{z+6}{2} \) получили, что прямая перпендикулярна оси Oy, уравнение прямой можно записать еще и так $$\frac{x-3}{-1} = \frac{z+6}{2}, \quad x=1 $$
7) Угол между ребром \(А_1А_4\) и гранью \(А_1А_2А_3\).
Есть прямая, на которой лежит ребро, ее уравнение \(А_1А_4 = \frac{x-4}{-1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-9}\).
Есть плоскость, которой принадлежит грань \(A_1A_2A_3\) \(-x+2z-2=0\).
Запишем каноническое уравнение прямой \(\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}\), каноническое уравнение плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\), тогда угол между прямой и плоскостью будет рассчитываться по формуле $$ \sin \phi = \frac{|Am + Bn + Cp|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2} \sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$Подставляем данные из задачи в формулу $$\sin \phi = \frac{|(-1)(-1) + 0*3 + 2(-9)|}{ \sqrt{(-1)^2+0^2+2^2} \sqrt{(-1)^2+3^2+(-9)^2}} = \frac{17}{ \sqrt{455}} => \arcsin (\frac{17}{ \sqrt{455}}) \approx 52,84^0$$
8) Объем пирамиды.
Объем пирамиды равен $$V_{пир} = \frac{1}{3}Sh$$ где \( S = 8 \sqrt{5}\) - площадь основания. Нужно найти высоту, опущенную на это основание, а это есть расстояние от точки до плоскости, которое рассчитывается по формуле $$d = |\frac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}|$$ где \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки \(А_4(3;2;-6)\), а \(Ax+By+Cz+D=0\) - уравнение плоскости, которое равно \(-x+2z-2=0\). Подставляем координаты и получаем $$h = |\frac{-3+2*(-6)-2}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}| = \frac{17}{\sqrt{5}} $$ Подставляем в формулу объема $$V_{пир} = \frac{1}{3} 8 \sqrt{5}*\frac{17}{\sqrt{5}} = \frac{136}{3}$$
