Задача: Известно,что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники.Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом.Какова вероятность того,что это мужчина,считая, что количество мужчин и женщин одинаковое.
Эта задача на применение формулы Бейеса.
Обозначим через \(H_м;H_ж\) - соответственно гипотезы о том, что наудачу выбранное лицо является мужчиной или женщиной.
1. Найдем вероятность гипотез \(H_м;H_ж\).
Вероятность гипотез будем находить по классическому определению вероятностей, где n = 2 - количество групп (полов), а m =1 - выбрали мужчину или женщину, тогда вероятности этих гипотез до проведения испытаний равны между собой $$P(H_м) = P(H_ж) = \frac{1}{2}$$
2. Найдем условные вероятности.
В результате испытания наблюдается событие A - выбрали дальтоника. Найдем условные вероятности этого события при гипотезах \(H_м;H_ж\)
дальтоник среди мужчин $$P(A|H_м) = \frac{m}{n} = \frac{5}{100}=0.05$$
дальтоник среди женщин $$P(A|H_ж) = \frac{m}{n} = \frac{0,25}{100}=0.0025$$
3. Применяем формулу Бейеса.
По формуле Бейеса $$P(H_i|A_i) = \frac{P(H_i)P(A|H_i)}{ \sum_{i=1}^n P(H_i)P(A|H_i)}$$ В нашем частном случае вероятности \(P(H_i)\) равны, поэтому они сокращаются и формула примет вид $$P(H_i|A_i) = \frac{P(A|H_i)}{ \sum_{i=1}^n P(A|H_i)}$$
подставляем данные и находим вероятность гипотезы \(H_м\) после испытания $$P(H_м|A) = \frac{0,05}{ 0,05+0,0025} \approx 0,95$$Ответ: вероятность того, что наугад выбранное лицо, страдающее дальтонизмом - мужчина \(P(H_м|A) = 0,95\)
