Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Помогите решить по методу Крамера


0 Голосов
Вика Пискунов
Posted Ноябрь 20, 2012 by Вика Пискунова
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1649

Решить систему уравнения методом Крамера

$$ \left\{ \begin{array}
3x + 2y +z = -8  \\
2x + 3y + z = -3 \\
2x + y + 3z = -1 \\
\end{array} \right.
$$

Теги: система рівнянь, метод Крамера

Лучший ответ


0 Голосов
Sheldon Cooper
Posted Ноябрь 20, 2012 by Sheldon Cooper

Вирішуємо систему рівнянь методом Крамера
1. Знаходимо визначник системи

\(
 \Delta =
 \begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3
 \end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
 \end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
2 & 3
 \end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
2 & 1
 \end{vmatrix} =
\)

  = 3 * (3*3 - 1*1) - 2 * (2*3-2*1) + (2*1-2*3) = 3*8 - 2*4 -4 = 24 - 8 - 4 = 12

так як \( \Delta \neq 0\) , то система має єдине рішення, яке визначається за формулою
\(\Large x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta};  y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta};  z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} \)
знаходимо \(\Delta_{x}, \Delta_{y}, \Delta_{z}\)
\(
 \Delta_{x} =
 \begin{vmatrix}
-8 & 2 & 1 \\
-3 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & 3
 \end{vmatrix} = -8 * \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
 \end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
 \end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
-3 & 3 \\
-1 & 1
 \end{vmatrix} =
\)

  = -8 * (3*3 - 1*1) - 2 * (-3*3-(-1)*1) + (-3*1-(-1)*3) = -8*8 - 2*(-8) + 0 = -64 + 16 = -48

 

\(
 \Delta_{y} =
 \begin{vmatrix}
3 & -8 & 1 \\
2 & -3 & 1 \\
2 & -1 & 3
 \end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
 \end{vmatrix} - 8 * \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
2 & 3
 \end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
2 & -1
 \end{vmatrix} =
\)

  = 3 * (-3*3 - (-1)*1) -(-8) * (2*3-2*1) + (2*(-1)-2*(-3)) = 3*(-8) + 8*4 -8 = -24 + 32 + 4 = 12

\(
 \Delta_{z} =
 \begin{vmatrix}
3 & 2 & -8 \\
2 & 3 & -3 \\
2 & 1 & -1
 \end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
3 & -3 \\
1 & -1
 \end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
2 & -1
 \end{vmatrix}  -8 * \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
2 & 1
 \end{vmatrix} =
\)

  = 3 * (3*(-1) - 1*(-3)) - 2 * (2*(-1)-2*(-3)) -8* (2*1-2*3) = 3*(-1) - 2*4 -4 = 0 - 8 + 8*4 = 24

$$ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} = \frac{-48}{12} = -4$$$$y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} = \frac{12}{12} = 1$$$$z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} = \frac{24}{12} = 2$$

Відповідь : x = -4, y = 1, z = 2.