Вычислим интеграл \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos^2(x)dx \).
Запишем формулу интегрирования по частям $$\int_a^b udv = u*v|_a^b - \int_a^b vdu \quad (1)$$
Введем обозначения \(u = x => du=dx\),тогда \( dv = \cos^2(x) => v = \int \cos^2(x)dx \) , для того чтобы найти интеграл от \(\cos^2(x)\) - нужно опять интегрировать по частям, а потом еще раз, т.к. появится произведение косинуса с x, поэтому сделаем преобразования для упрощения решения. Проблема в степени косинуса, ее нужно понизить. Применим формулу косинуса двойного угла $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) -1 => \cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x)+1)$$Подставим формулу в интеграл $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos^2xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)dx = $$$$ = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x(\cos(2x)+1)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(2x)dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx = \quad (2)$$Получили два интеграла, найдем их
1. найдем интеграл $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}xdx = \frac{1}{2}x^2|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\frac{\pi^2}{4}=\frac{\pi^2}{8}$$
2. найдем второй интеграл, который будем интегрировать по частям $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(2x)dx = $$введем обозначения, как это делали раннее \(u = x => du=dx\),тогда \( dv = \cos(2x) => v = \int \cos(2x)dx =\frac{1}{2}\sin(2x) \) в отличие от первой попытки ввести замену, сейчас мы получили табличный интеграл, применяем в формулу (1) $$ = \frac{1}{2}\sin(2x)*x|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\sin(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)*x|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{4}\cos(2x)|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = $$$$ = \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{2})*\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin(2*0)*0 + \frac{1}{4}\cos(2\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{4}\cos(0) = 0 - 0 - \frac{1}{4}- \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$$
Подставляем значения интегралов в (2)
$$= \frac{1}{2} \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) = \frac{\pi^2-4}{16}$$ Ответ: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos^2(x)dx = \frac{\pi^2-4}{16}\)
