Знайти канонічне рівняння гіперболи, якщо дійсна вісь = 18,а ексцентриситет $ε=\frac{5}{3}$.

Запишем каноническое уравнение гиперболы

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ при этом действительная ось равна 2*a=18 => a=9. Нужно найти мнимую полуось. В задаче известна формула эксцентриситета $$\epsilon = \frac{5}{3} = \frac{c}{a} = \sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}$$ Найдем из этой формулы мнимую полуось $$\epsilon = \sqrt{1+(\frac{b}{a})^2} => \epsilon^2 = 1+(\frac{b}{a})^2 =>$$ $$( \frac{b}{a})^2 = \epsilon^2 -1 => \frac{b}{a} = \sqrt{ \epsilon^2 -1} => b = a* \sqrt{ \epsilon^2 -1}$$ Подставляем значение действительной полуоси и эксцентриситета $$b = 9 \sqrt{ (\frac{5}{3})^2 - 1} = \frac{9}{3}\sqrt{25-9} = 12$$ Подставляем значения полуосей в уравнение гиперболы $$\frac{x^2}{9^2}-\frac{y^2}{12^2}=1$$
Построим гиперболу на декартовой системе координат. Для удобства построения найдем асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы $$y = \pm \frac{b}{a}x$$ Подставляем значения полуосей и получаем две асимптоты $$y = \frac{12}{9}x = \frac{4}{3} x$$ уравнение второй асимптоты $$y = - \frac{4}{3} x$$ Строим гиперболу