Побудувати лінію другого порядку $$4x^2 + 9y^2=36$$ Знайти фокуси та ексентриситет.

Дано рівняння кривої другого порядку $4x^2 + 9y^2 = 36$

1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого ступеня (немає змішаного добутку) з різними коефіцієнтами, тому канонічне рівняння будемо отримувати шляхом розподілу на вільний член.

$$4x^2 + 9y^2 = 36 =>$$ $$\frac{4}{36} x^2 + \frac{9}{36} y^2 = 1 =>$$ $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ Отримали рівняння еліпса.
Як відомо канонічне рівняння еліпса $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

2. Знайти координати фокусів, центру.
Розглянемо отримане рівняння еліпса. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ з рівняння видно, що координата центру еліпса O (0; 0).  
Також з рівняння визначимо півосі еліпса $A = 3$ і $b = 2$.
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь $F_1F_2$. Т.я. $a  >  b$, то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними:  $F_1(-c; 0)$ і $F_2 (c; 0)$, де $c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} => c = \sqrt{9-4 } = \sqrt {5}$.
Координати фокусів будуть наступні $F_1 (- \sqrt{5}; 0)$ і $F_2 ( \sqrt{5}; 0)$. 

3. Знайти ексцентриситет еліпса. 

Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою $\epsilon = \frac{c}{a}$ =>  $\epsilon = \frac{ \sqrt{5}}{3}$

4. Будуємо графік: