Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарным, то длина векторного произведения этих векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах $$S = |\vec{a}||\vec{b}|*\sin\alpha$$
1. Найдем векторное произведение двух векторов $$\vec{s} = \vec{a}x \vec{b} = $$$$=(2\vec{m}-\vec{n})x(4\vec{m}-5\vec{n})=2*4*\vec{m}x\vec{m}-2*5*\vec{m}x\vec{n}-4*\vec{n}x\vec{m}+5*\vec{n}x\vec{n}= $$воспользуемся свойством анти коммутативности векторного произведение, т.е. \(\vec{a}x\vec{b}=-\vec{b}x\vec{a}\) $$=8\vec{m}x\vec{m}+10\vec{n}x\vec{m}-4*\vec{n}x\vec{m}+5\vec{n}x\vec{n}=$$ квадрат векторного произведения \( \vec{a} x \vec{a}=0 \) =>$$= 6\vec{n}x \vec{m}$$
2. Найдем модуль полученного вектора $$|\vec{S}| = 6*|\vec{m}|*|\vec{n}|*\sin\alpha = 6*1*1*\frac{\sqrt 2}{2} = 3\sqrt{2}$$
Ответ: площадь параллелограмма равна \(S=3\sqrt{2}\)
