Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти точки разрыва функции y=y(x) и определить их характер. Сделать чертеж.


0 Голосов
Татьяна
Posted Декабрь 9, 2013 by Татьяна
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 7380

Найти точки разрыва функции y=y(x) и определить их характер. Сделать чертеж.   \(  y = \begin{cases} x+2 & x \leq -1\\ x^2+1 & -1 < x < 1 \\ -x+3  & x \geq  1 \end{cases}\) 

Теги: точки разрыва, классификация точек разрыва графика функции

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 9, 2013 by Вячеслав Моргун

Решение: исследуем функцию \(  y = \begin{cases} x+2 & x \leq -1\\ x^2+1 & -1 < x < 1 \\ -x+3  & x \geq  1 \end{cases}\) на непрерывность и построим ее график.
Функция состоит из элементарных функций, которые непрерывны на числовой оси, поэтому точками возможного разрыва могут быть только точки, в которых меняется аналитическое выражение функции, т.е. \(x = -1; x = 1\).
Проанализируем поведение функции в этих точках.


Точка \(x= -1\)
В окрестности точки \(x= -1\) функция определена двумя различными выражениями: 
слева \(f(x) = x+2 \)  и 
справа \(f(x) = x^2+1 \)
Вычислим в этой точке: 
1. левосторонний предел функции \(f(x) = x+2\): $$ \lim_{x \to -1-0}f(x) = \lim_{x \to -1-0}(x+2)  = 1$$
2. правосторонний предел функции  \(f(x) =  x^2+1 \): $$\lim_{x \to -1+0}f(x) = \lim_{x \to -1+0}( x^2+1)  = 2$$
3. значение функции в точке: $$f(-1) =(x+2)|_{x=-1} = 1$$


Таким образом получили, что односторонние пределы существуютконечные, но не равны между собой, т.е. в точке \(x = -1\)  функция имеет разрыв первого рода, скачек функции равен 1.


Точка \(x= 1\)
В окрестности точки \(x= 1\) функция определена двумя различными выражениями: 
слева \(f(x) = x^2+1 \)  и 
справа \(f(x) = -x+3 \)
Вычислим в этой точке: 
1. левосторонний предел функции \(f(x) = x^2+1\): $$ \lim_{x \to 1-0}f(x) = \lim_{x \to 1-0}(x^2+1)  = 2$$
2. правосторонний предел функции  \(f(x) =  -x+3 \): $$\lim_{x \to 1+0}f(x) = \lim_{x \to 1+0}( -x+3)  = 2$$
3. значение функции в точке: $$f(1) =(-x+3)|_{x=1} = 2$$


Таким образом получили, что односторонние пределы существуютконечные и равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е. в точке \(x=1\)  функция непрерывна.


Построим схематически график функции:


исследовать функцию на непрерывность и построить ее график