1. Показать, что вектора a,b,c - образуют базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые. Составим из координат определитель матрицы, согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, т.о., если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов a,b,c $$|A| = \left|\begin{array}{c}3 & 2 & 2\\ 1 & 7 & -7\\ 8 & 3 & 4\end{array}\right| = 3*7*4+1*3*2+2*(-7)*8-2*7*8-4*1*2-3*(-7)*3=-79$$получили, что определитель неравен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис \(R^3\).
2. Найти координаты вектора d в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=b$$ методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы \((A|b)\). Путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной, тогда матрица b - будет искомое решение.
$$(A|B) = \left(\begin{array}{c} 3& 2 & 2 \\ 1 & 7 & -7\\ 8 & 3 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 16\\ 14\\ 27 \end{array}\right.\right) =$$Приведем элемент \(a_{11} \) к 1 для этого вычтем из первой строки вторую$$= \left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 1 & 7 & -7\\ 8 & 3 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 14\\ 27\end{array}\right.\right) =$$получили ведущий элемент \(a_{11}=1\), вычтем из второй строки первую$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & 19 & -23\\ 8 & 3 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 26\\ 27 \end{array}\right.\right) =$$умножим первую строку на 8 и вычтем из третьей строки $$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & 19 & -23\\ 0 & 99 & -124 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 26\\ 123 \end{array}\right.\right) =$$упростим третью строку, вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 5$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & 19 & -23\\ 0 & 4 & -9 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 26\\ -7 \end{array}\right.\right) =$$выбираем за ведущий элемент \(a_{22}\), нам необходимо, чтобы он был равен 1, для этого можно 19 вынести из строки матрицы, а можно из второй строки вычесть третью, умноженную на 5$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & -1 & 22 \\ 0 & 4 & -9 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 61\\ -7 \end{array}\right.\right) =$$умножим вторую строку на 4 и сложим с третьей$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & -1 & 22 \\ 0 & 0 & 79 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 61\\ 237 \end{array}\right.\right) =$$разделим все элементы третьей строки на 79$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & -1 & 22 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 61\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу. Вычтем из второй строки третью, умноженную на 22$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ -5\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$Вынесем -1 из второй строки$$=\left(\begin{array}{c} 1& -12 & 16 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -12\\ 5\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$сложим первую строку и вторую, умноженную на 12$$=\left(\begin{array}{c} 1& 0 & 16 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 48\\ 5\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$вычтем из первой строки третью, умноженную на 16$$=\left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 5\\ 3 \end{array}\right.\right)$$Получили расширенную матрицу у которой матрица \(A\) - единичная, а матрица $$b' =\left( \begin{array}{c} 0\\ 5\\ 3 \end{array}\right)$$
Ответ: координаты вектора b в новом базисе \(b' =\left( \begin{array}{c} 0\\ 5\\ 3 \end{array}\right)\)
