Найти производную \(\frac{dy}{dx}\) функции \(y= \frac{4sinx}{cos^2 x}\)

Найдем производную функции \(y= \frac{4\sin(x)}{ \cos^2(x)}\)
Применим формулу производной дроби $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$ получаем $$y'= ( \frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)})' = \frac{(4\sin(x))'*\cos^2(x) - 4\sin(x)*(\cos^2(x))'}{(\cos^2(x))^2} = $$$$ =\frac{4\cos(x)*\cos^2(x) - 4\sin(x)*2\cos(x)(-\sin(x))}{\cos^4(x)} = 4\frac{\cos^2(x) + 2\sin^2(x)}{\cos^3(x)} =$$$$=4\frac{\cos^2(x) + 2\sin^2(x)}{\cos^3(x)} =4\frac{1 + \sin^2(x)}{\cos^3(x)} =$$применим формулу косинуса двойного угла \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\)$$= 4\frac{1 + \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)}{\cos^3(x)} = 2\frac{3-\cos(2x)}{\cos^3(x)} $$
Ответ: производная функции \(y'= (\frac{4\sin(x)}{ \cos^2(x)})' = 2\frac{3-\cos(2x)}{\cos^3(x)}\)