1. Длину стороны AB.
Длина стороны (отрезка) в декартовой системе координат рассчитывается по формуле \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^1+(y_2-y_1)^2}\). подставляем координаты точек А (1,0) и В(13, -9) и получаем $$|AB| = \sqrt{(13-1)^2+(-9)^2}=\sqrt{144+81}=15$$
2. Уравнения сторон треугольника AB, BC и их угловые коэффициенты.
При известных двух вершинах уравнение сторон находится по формуле прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ подставляем координаты точек и получаем
уравнение стороны AB: \(\frac{x-1}{13-1} = \frac{y-0}{-9-0} => y = -\frac{3}{4}x+\frac{3}{4} => \)$$AB: \quad y = -\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$ угловой коэффициент \(k_{AB}=-\frac{3}{4}\)
уравнение стороны AC: \(\frac{x-1}{17-1} = \frac{y-0}{13-0} => y = \frac{13}{16}x-\frac{13}{16} => \)$$AC: \quad y = \frac{13}{16}x-\frac{13}{16} \quad k_{AC} = \frac{13}{16}$$
уравнение стороны BC: \(\frac{x-13}{17-13} = \frac{y+9}{13+9} => y = \frac{11}{2}x-\frac{161}{2} => \)$$BC: \quad y = \frac{11}{2}x-\frac{161}{2} \quad k_{BC} = \frac{11}{2}$$
3. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
Угол B - угол между прямыми AB и BC, который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}|$$подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых и получаем $$tg\phi=| \frac{\frac{11}{2}+\frac{3}{4}}{1-\frac{11}{2}*\frac{3}{4}}| = 2 => \phi = arctg(2) \approx 1,11$$
4.Уравнение высоты CD и ее длину.
Уравнение высоты будем находить по формуле прямой проходящей через заданную точку С(17,13) в заданном направлении - перпендикулярно прямой AB по формуле \(y-y_0=k(x-x_0)\). Найдем угловой коэффициент высоты \(k_{CD}\) воспользовавшись свойством перпендикулярных прямых \(k_1=-\frac{1}{k_2}\) получим $$k_{CD}= -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$ Подставляем в уравнение прямой, получаем $$y - 13 = \frac{4}{3}(x-17) => y = \frac{4}{3}x-\frac{29}{3}$$ Длину высоты будем искать как расстояние от точки С(17,13) до прямой AB по формуле $$d = \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ в числителе уравнение прямой AB, приведем его к этому виду \(y = -\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}=> 4y+3x-3 = 0\) , подставляем полученное уравнение и координаты точки в формулу $$d = \frac{4*13+3*17-3 }{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{100}{5} =20$$
5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
Уравнение медианы будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А (1,0) и E , где точка E - середина между точками В(13, -9) и С(17,13) и ее координаты находятся по формуле \(E(\frac{x_2+x_1}{2};\frac{y_2+y_1}{2})\) подставляем координаты точек \(E(\frac{13+17}{2};\frac{-9+13}{2})\) => \(E(15; 2)\), тогда уравнение медианы AE буде следующее $$\frac{x-1}{15-1}=\frac{y-0}{2-0} => y = \frac{1}{7}x - \frac{1}{7}$$Найдем координаты точки пересечения высот и медианы, т.е. найдем их общую точку, для этого составим систему уравнение $$\begin{cases}y = \frac{1}{7}x - \frac{1}{7}\\y = \frac{4}{3}x-\frac{29}{3}\end{cases}=>\begin{cases}7y = x - 1 \\ 3y = 4x-29\end{cases}=>$$$$\begin{cases}28y = 4x - 4\\3y = 4x-29\end{cases}=> \begin{cases}25y = 25\\3y = 4x-29\end{cases}=> $$$$\begin{cases}y = 1 \\x =8\end{cases}$$ Координаты точки пересечения \(K(8;1)\)
6.Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
Если прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. \(k_{AB}=k_{K} = -\frac{3}{4}\) , также известны координаты точки \(K(8;1)\), т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении \(y - y_0=k(x-x_0)\), подставляем данные и получаем $$y - 1= -\frac{3}{4}(x-8) => y = -\frac{3}{4}x + 7$$
7. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.
Точка M лежит на прямой AB, т.к. CD - высота к этой стороне. Найдем точку пересечения CD и AB для этого решим систему уравнений $$\begin{cases}y = -\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\\y = \frac{4}{3}x-\frac{29}{3}\end{cases} =>\begin{cases}4y = -3x+3\\3y = 4x-29\end{cases} => $$$$\begin{cases}12y = -9x+9\\12y = 16x-116\end{cases} =>
\begin{cases}12y = -9x+9\\ = 25x-125\end{cases} => $$$$\begin{cases}y=-3\\x=5 \end{cases}$$ Координаты точки D(5;-3). По условию AD=DK, это расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), где AD и DK - гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) - катеты этих треугольников, т.е. найдем катеты найдем и координаты точки M. \(Δx=x_D-x_A = 5-1=4\), а \(Δy=y_D-y_A = -3-0=-3\), тогда координаты точки M будут равны \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =5+4=9 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =-3-3=-6 \), получили, что координаты точки \(M(9;-6)\)
8. Нанесем полученные точки и прямые на декартовую систему координат.
