Исследовать функцию и построить график $$y= \frac{x^2-1}{x^2+1}$$

Исследуем функцию $y = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции для дроби будет: знаменатель не равен нулю , т.е. при всех x знаменатель не равен 0, то ОДЗ

$$D_f=(-\infty;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ $x \in R$.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = \frac{x^2-1}{x^2+1}$ функция является четной, т.е. она симметрична относительно оси Oy.

4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $\frac{x^2-1}{x^2+1} = 0 => x = \pm 1$ , т.е кривая пересекает ось Ox в двух точках с координатами (-1;0), (1;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять $x=0$, $y = \frac{0-1}{0+1}=> y = -1$, точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;-1)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили две точки пересечения с осью Ox, они поделили ось на три интервала знакопостоянства функции.
Определим знак функции на этих интервалах
интервал $(-\infty;-1)$ найдем значение функции в любой точке $f(-2) = \frac{(-2)^2-1}{(-2)^2+1}   >  0$, т.е. на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. находится выше оси Ox
интервал $(-1; 1)$ найдем значение функции в любой точке $f(0) = \frac{(0)^2-1}{(0)^2+1}  < 0$, т.е. на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0$, т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал $(1; + \infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(2) = \frac{2^2-1}{2^2+1}   > 0$, т.е. на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox

5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = (\frac{x^2-1}{x^2+1})' = \frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =$$ $$=\frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$$ приравняем к 0 $$\frac{4x}{(x^2+1)^2} = 0 => x= 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта  точка x =0 делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(-1) = \frac{4(-1)}{((-1)^2+1)^2}  <  0$, т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал $(0; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(1) = \frac{4*1}{(1^2+1)^2}  >  0$, т.е. на этом интервале функция возрастает.

Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=0 производная меняет знак с $\quad - \quad 0 \quad + \quad$ - точка минимума. Эта точка также является точкой пересечения с осью Oy, ее координаты (0; -1) .

6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{4x}{(x^2+1)^2})' = \frac{4(x^2+1)^2-4x*2(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} =$$ $$=4\frac{(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^3} =  4\frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3}$$ Приравняем к нулю $$4\frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3} = 0 => 1-3x^2=0 => x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Получили три интервала выпуклости
интервал $(-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(-1) = 4\frac{1-3(-1)^2}{((-1)^2+1)^3} < 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(-\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0) = 4\frac{1-3*0^2}{(0^2+1)^3}  > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал $(\frac{1}{\sqrt{3}};+\infty)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(1) = 4\frac{1-3*1^2}{(1^2+1)^3} < 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная  $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Точки перегиба.
В точке $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ вторая производная меняет знак с  $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба $f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{1}{2}$.
Координаты точки перегиба $(-\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{2})$
В точке $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ вторая производная меняет знак с  $\quad + \quad 0 \quad - \quad$, график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба $f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{1}{2}$.
Координаты точки перегиба $(\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{2})$

7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ $x \in R$
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $y =\frac{x^2-1}{x^2+1}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1$$ Получили, что график функции имеет горизонтальную асимптоту y=1.

8. Построить график функции.