Исследуем функцию y = \frac{x}{(x-1)^2} и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции для дроби будет: знаменатель не равен нулю , т.е. x-1 \ne 0 => x \ne 1 D_f=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x =1
исследуем точку x=1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа \lim_{x \to 1+0} \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(1+0-1)^2} = +\infty
и слева от точки
\lim_{x \to 1-0}\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(-1-0+1)^2} = +\infty
Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны
+\infty.
3. Четность функции.
Проверяем на четность f(-x) = \frac{-x}{(-x-1)^2} = -\frac{x}{(x+1)^2} функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем y=0, получим \frac{x}{(x-1)^2} = 0 => x = 0 , кривая проходит через начало координат (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять x=0, y = \frac{0}{(0-1)^2} => y = 0.
Интервалы знакопостоянства функции. Получили одну точку пересечения с осью Ox, определим знак функции справа и слева от точки
интервал (-\infty;0) найдем значение функции в любой точке f(-2) = \frac{-2}{(-2-1)^2} < 0, т.е. на этом интервале функция отрицательная f(x) < 0 , т.е. находится ниже оси Ox
интервал (0; + \infty) найдем значение функции в любой точке f(2) = \frac{2}{(2-1)^2} > 0 , т.е. на этом интервале функция положительная f(x) > 0 , т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю y' = (\frac{x}{(x-1)^2})' = \frac{(x-1)^2-x*2(x-1)}{(x-1)^2} =
=\frac{1-x^2}{(x-1)^4} = -\frac{x+1}{(x-1)^3}
приравняем к 0
-\frac{x+1}{(x-1)^3} = 0 => x= -1
функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта точка x =1 и точка x = -1 (производная не существует по ОДЗ) делит ось на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал
(-\infty; -1) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(-2) = -\frac{-2+1}{(-2-1)^3} < 0, т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал
(-1; 1) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(0) = -\frac{0+1}{(0-1)^3} > 0, т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал
(1; +\infty) найдем значение первой производной в любой точке интервала
f(2) = -\frac{2+1}{(2-1)^3} < 0, т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции. При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=-1 производная меняет знак с
\quad - \quad 0 \quad + \quad - точка минимума. Рассчитаем вторую координату
f(-1) = \frac{-1}{(-1-1)^2} = -\frac{1}{4}, т.е. координата точки локального минимума
(-1; -\frac{1}{4}) .
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю
y'' = (-\frac{x+1}{(x-1)^3})' = -\frac{(x-1)^3-3(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^6} = - \frac{x-1-3(x+1)}{(x-1)^4} = \frac{2(x+2)}{(x-1)^4}
Приравняем к нулю
\frac{2(x+2)}{(x-1)^4} = 0 => x=-2
С учетом точки x = 1, в которой функция не существует, получили три интервала выпуклости
интервал
(-\infty;-2) найдем значение второй производной в любой точке
f''(-4) = \frac{2(-4+2)}{(-4-1)^4} < 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная
f''(x) < 0 - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал
(-2;1) найдем значение второй производной в любой точке
f''(0) = \frac{2(0+2)}{(0-1)^4} > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная
f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал
(1;+\infty) найдем значение второй производной в любой точке
f''(2) = \frac{2(2+2)}{(2-1)^4} > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная
f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.В точке x = -2 график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба, найдем вторую координату точки перегиба
y = \frac{-2}{(-2-1)^2} = -\frac{2}{9}.
Координаты точки перегиба
(-2;-\frac{2}{9})
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки x = 1, найдем предел при x-> 1 \lim_{x \to 1+0} \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(1+0-1)^2} = +\infty
\lim_{x \to 1-0}\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(-1-0+1)^2} = +\infty
x= 1 - вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота. Для того, чтобы график функции
y =\frac{x}{(x-1)^2} при
x \to \infty имел наклонную асимптота
y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k
находим его
\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{x}{(x-1)^2}}{x} = \frac{1}{(x-1)^2} = 0 => k= 0
и второй предел
\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b
Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
8. Построить график функции.
