Исследуем функцию \(f(x)=\frac{x^3}{2*(x+1)^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Для дроби ОДЗ - знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne -1\)$$D_f=(-\infty;-1) \cup (-1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва
исследуем точку x=-1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to -1+0} \frac{x^3}{2*(x+1)^2}=\frac{-1^3}{2*(-1+0+1)^2} = -\infty$$и слева от точки $$\lim_{x \to -1-0} \frac{x^3}{2*(x+1)^2}=\frac{-1^3}{2*(-1-0+1)^2} = -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(-\infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{2*(-x+1)^2}\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{x^3}{2*(x+1)^2} = 0\) => x=0, точка пересечения с осью Ox (0;0).
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y =\frac{0^3}{2*(0+1)^2} =0 \), т.е. точка пересечения с осью Oy \((0;0)\), т.е. график функции проходит через начало координат, больше точек пересечения с осями у него нет.
Получили одну точку пересечения с осью Ox, определим знак функции справа и слева от точки
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{(-2)^3}{2*(-2+1)^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{1^3}{2*(1+1)^2} >0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x^3}{2*(x+1)^2})' = \frac{1}{2}\frac{3x^2(x+1)^2-2(x+1)x^3}{(x+1)^4} = $$$$ =x^2\frac{3(x+1)-2x}{2(x+1)^3}= x^2\frac{x+3}{2(x+1)^3}$$ приравняем к 0 $$x^2\frac{x+3}{2(x+1)^3} = 0 => x_1=-3; x=0$$ функция имеет две критические (стационарные) точки, т.е. две точки возможного экстремума функции. Эти две точки и точка, в которой функция не имеет производную делят ось на четыре интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = (-4)^2\frac{-4+3}{2(-4+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((-3; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = (-2)^2\frac{-2+3}{2(-2+1)^3} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((-1; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-0,5) = (-0,5)^2\frac{-0,5+3}{2(-0,5+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = 1^2\frac{1+3}{2(1+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили две критические точки (стационарные), определим, какие из них являются экстремумами, а какие нет. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=-3 производная меняет знак с \( + \quad 0 \quad -\) - точка максимума.
точка x= 0 производная меняет знак с \( + \quad 0 \quad +\) - производная знак не поменяла, т.е. эта точка не является экстремумом.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (x^2\frac{x+3}{2(x+1)^3})' = \frac{x^2(x+3)}{2(x+1)^3}=\frac{1}{2}\frac{(3x^2+6x)(x+1)^3-3(x+1)^2x^2(x+3)}{(x+1)^6}=$$$$=\frac{1}{2}\frac{(3x^2+6x)(x+1)-3x^2(x+3)}{(x+1)^4}=\frac{1}{2}\frac{3x^3+6x^2+3x^2+6x-3x^3-9x^2}{(x+1)^4}=$$$$=\frac{1}{2}\frac{6x}{(x+1)^4}=\frac{3x}{(x+1)^4} = 0 =>x =0$$
С учетом точки, в которой функция не существует, получили три интервала выпуклости
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-4) = \frac{3(-4)}{(-4+1)^4} < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-1;0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-0,5) = \frac{3(-0,5)}{(-0,5+1)^4} < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0;+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = \frac{3*1}{(1+1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке x = 0 график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба.
7. Асимптоты.
Мы уже получили точку разрыва \(x = -1\) - вертикальная асимптота, т.к. при $$\lim_{x \to -1+0} \frac{x^3}{2*(x+1)^2}= -\infty$$$$\lim_{x \to -1+0} \frac{x^3}{2*(x+1)^2}=-\infty$$
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =\frac{x^3}{2*(x+1)^2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{x^3}{2*(x+1)^2}}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{2*(x+1)^2} = \frac{1}{2} => k= \frac{1}{2}$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}(\frac{x^3}{2*(x+1)^2} - \frac{x}{2}) = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^3-x^2-2x^2-x}{2*(x+1)^2} = -1 $$ получили уравнение наклонной асимптоты $$y = \frac{1}{2}x-1$$
8. Построить график функции.
