В задании дана формула приближенного вычисления тангенса по формуле Тейлора (Маклорена) при \(x_0=0\) $$tg(x) = x+ 0 + \frac{x^3}{3}+0$$данная формула записана в этом виде, чтобы было видно, что в ряде 4 члена. Поставим значение x=0,05 и рассчитаем значение тангенса $$tg(0,05) = 0,05 + \frac{0,05^3}{3} = 0.0500416667$$ Проведем оценку погрешности полученного результата для этого воспользуемся формулой остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа. Т.к. у нас в ряду было четыре члена, то остаточный член берется для пятого $$R_{5}(x)=\frac{f^{(5)}(\theta x)}{5!}x^5$$где \(0 < \theta < 1 \)
Ищем производную пятого порядка
$$(tg(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
$$(tg(x))^{(2)} = (\frac{1}{\cos^2(x)})' = \frac{2\cos(x)*\sin(x)}{\cos^4(x)} = 2 \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$$
$$(tg(x))^{(3)} = 2 (\frac{\sin(x)}{\cos^3(x)})' =$$$$= 2\frac{ \cos(x)\cos^3(x)+3\cos^2(x)*\sin(x)*\sin(x)}{ \cos^6(x)} = 2\frac{ \cos^2(x)+3\sin^2(x)}{ \cos^4(x)} = $$$$=2\frac{1}{ \cos^2(x)} + 6\frac{1-\cos^2(x)}{ \cos^4(x)} = 2\frac{1}{ \cos^2(x)}+6\frac{1}{ \cos^4(x)}-6\frac{1}{ \cos^2(x)}$$
$$(tg(x))^{(4)} = (2\frac{1}{ \cos^2(x)}+6\frac{1}{ \cos^4(x)}-6\frac{1}{ \cos^2(x)})' = 4 \frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)} + 6\frac{4\cos^3(x)\sin(x)}{ \cos^8(x)}-12 \frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)} =$$$$= 4 \frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)} + 24\frac{\sin(x)}{ \cos^5(x)}-12\frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)}= 24\frac{\sin(x)}{ \cos^5(x)}-8\frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)}$$находим последнюю пятую производную
$$(tg(x))^{(5)} = (24\frac{\sin(x)}{ \cos^5(x)}-8\frac{\sin(x)}{ \cos^3(x)})' = $$$$=24\frac{ \cos(x)*\cos^5(x)+5\cos^4(x)*\sin(x)*\sin(x)}{ \cos^(10)(x)}-8\frac{ \cos(x)\cos^3(x)+3\cos^2(x)\sin(x)\sin(x)}{ \cos^3(x)} = $$$$=24\frac{\cos^2(x)+5\sin^2(x)}{ \cos^6(x)}-8\frac{\cos^2(x)+3\sin^2(x)}{ \cos^4(x)} = $$$$=24\frac{\cos^2(x)+5 - 5\cos^2(x)}{ \cos^6(x)}-8\frac{\cos^2(x)+3-3\cos^2(x)}{ \cos^4(x)} = 24\frac{5 - 4\cos^2(x)}{ \cos^6(x)}-8\frac{3-2\cos^2(x)}{ \cos^4(x)}$$ Получили производную пятого порядка $$(tg(x))^{(5)}=24\frac{5 - 4\cos^2(x)}{ \cos^6(x)}-8\frac{3-2\cos^2(x)}{ \cos^4(x)}$$Подставляем, полученную производную в формулу остаточного члена $$R_{5}(x)=\frac{24\frac{5 - 4\cos^2(\theta x)}{ \cos^6(\theta x)}-8\frac{3-2\cos^2(\theta x)}{ \cos^4(\theta x)}}{5!}x^5 $$ как раннее указывалось, что при угле x=0,05 \( \cos(0,05) \approx 1\), если учесть, что \(\theta x < 0,05\), то \( \cos(0,05) < \cos(\theta x) < 1 \), все это было нужно, чтобы заменить косинус на 1, т.е. получаем $$R_{5}(0,05) < \frac{24-8}{5!}(0,05)^5 = \frac{16}{5!}*(0,05)^5= 4,2*10^{-8}$$ Проверим расчеты, рассчитаем на ПК \(tg(0.05)=0.05004170837\), по формуле Тейлора получили \(tg(0,05) = 0.0500416667\), вычитаем Δ=0.05004170837-0.0500416667=4,167*10^{-8}.
Ответ: \(tg(0,05) \approx 0.0500416667\) с погрешностью \(\sigma < 4.2*10^{-8}\)
