Исследуем функцию \(y=\frac{x-1}{x^2+3x-4}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Для дроби ОДЗ - знаменатель не равен нулю. Найдем корни уравнения в знаменателе. \(x^2+3x-4 \ne 0 => x_1 \ne -4; x_2 \ne 1\) $$D_f=(-\infty;-4) \cup (-4;1) \cup (1;+\infty)$$Преобразуем функцию с учетом ОДЗ \(y=\frac{x-1}{x^2+3x-4} =\frac{x-1}{(x+4)(x-1)} = \frac{1}{x+4}\)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точку разрыва
исследуем точку x=-4. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to -4+0} \frac{1}{x+4}=\frac{1}{-4+0+4} = +\infty$$и слева от точки $$\lim_{x \to -4-0}\frac{1}{(x+4)}=\frac{1}{-4-0+4} = -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(\pm \infty\)
исследуем точку x=1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{1+0+4}=\frac{1}{5}$$и слева от точки $$\lim_{x \to 1-0}\frac{1}{(1-0+4)}=\frac{1}{5}$$ Получили, что предел функции в точке существует, но функция в этой точке не определена (по ОДЗ), т.е. это устранимый разрыв
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{1}{(-x)+4}\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{1}{x+4} = 0\) точки пересечения с осью Ox нет
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y =\frac{1}{0+4} =\frac{1}{4} \), т.е. точка пересечения с осью Oy \((0;\frac{1}{4})\).
Точек пересечения с осью Ox нет, но есть точка разрыва второго рода, поэтому определим знак функции на этих интервалах справа и слева от точки разрыва (из пункта 2 можно уже сказать о знаке функции справа и лева от точки разрыва)
интервал \((-\infty; -4)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-5) = \frac{1}{-5+4} = -1\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \)
интервал \((-4; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \)
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{1}{x+4})' = -\frac{1}{(x+4)^2}$$ приравняем к 0 $$-\frac{1}{(x+4)^2} = 0$$ функция критических (стационарных) точек не имеет. Производная функции при всех значениях x из ОДЗ отрицательная, т.е. при всех x функция убывает.
Экстремумы функции.
Функция критических (стационарных) точек т.е. точек возможного экстремума функции не имеет, значит и экстремумов нет.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-\frac{1}{(x+4)^2})' = \frac{2}{(x+4)^3}$$ при всех x из ОДЗ \(y'' \ne 0\), т.е. точек перегиба функция не имеет.
Данная функция имеет два интервала выпуклости
интервал \((-\infty;-4)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f(-5) = \frac{1}{(-5+4)^3} = -1\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-4;+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f(0) = \frac{1}{(0+4)^3} = \frac{1}{4^3}\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
7. Асимптоты.
Мы уже получили точку разрыва \(x = -4\) - вертикальная асимптота, т.к. при $$\lim_{x \to -4+0} \frac{1}{x+4}=+\infty$$$$\lim_{x \to -4-0}\frac{1}{(x+4)}=-\infty$$
Горизонтальная асимптота. Рассмотрим поведение функции при \(x -> \pm \infty\) $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+4}=+0$$$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+4}=-0$$ т.о. ось Ox - горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =\frac{1}{(x+4)}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{(x+4)}}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x(x+4)} = 0 => k=0$$ т.е. функция наклонную функцию не имеет.
8. Построить график функции.
