Дано уравнение кривой второго порядка \(9x^2+4y^2+54x+24y+81=0\)
1. Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
$$9x^2+4y^2+54x+24y+81=0 => 9x^2+54x+4y^2+24y+81=0 => $$$$ 9(x^2+6x)+4(y^2+6y)+81=0 => 9(x^2+2*3x+9-9)+4(y^2+2*3y+9-9)+81=0 => $$$$ 9(x+3)^2-81+4(y+3)^2-36+81=0 => 9(x+3)^2+4(y+3)^2=36$$осталось последнее действие - разделим обе части уравнения на 36 $$\frac{(x+3)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{9}=1$$Получили уравнение эллипса, Каноническое уравнение эллипса $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$Для того, чтобы привести к указанному виду введем новые координаты \(x'=x+3;y'=y+3\), подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох на влево 3 и по оси Оу на 3 вниз, получаем $$\frac{(x')^2}{4}+\frac{(y')^2}{9}=1$$
2. Найти координаты фокусов, вершин центра.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \(\frac{(x+3)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{9}=1\) из уравнения видно, что координата центра эллипса O(-3;-3)
Также из уравнения определим полуоси эллипса \(a^2=4 => a=2\) и \(b^2=9 => b=3\).
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось \(F_1F\). Т.к. b > a, то фокальная ось лежит на оси Oy, поэтому координаты фокусов будут следующими: \(F_1(0;-с)\) и \(F_2(0;c)\), где \(c=\sqrt{b^2-a^2} => c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\), т.е. координаты фокусов будут равны \(F_1(0;-\sqrt{5})\) и \(F_2(0;\sqrt{5})\)
\pm \frac{9}{\sqrt{5}}
Т.к. b > a , то уравнение директрисы имеет вид \(y \pm \frac{b^2}{c}\) , подставляем данные и получаем $$y = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$$ Это уравнение мы получили для канонического уравнения эллипса с центром в начале координат, а мы помним связь между базовой системой координат и новой системой координат \(x'=x+3;y'=y+3\). Т.е. уравнение для базовой системы координат примет вид $$y+3 = \pm \frac{9}{\sqrt{5}} => y = \pm \frac{9}{\sqrt{5}} - 3$$
4. Построить рисунок: