Найти предел $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}$$

Найдем предел $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}$$ найдем значение функции в заданной точке $$= (1-\frac{3}{\infty})^{2\infty} = 1^{\infty}$$ Для нахождения предела применим метод логарифмирования, т.е. применим основное логарифмическое тождество $$a^{log_ax}=x$$ Преобразуем функцию $$\lim_{x \to \infty}e^{\ln(1-\frac{3}{x})^{2x}}=$$ Воспользуемся свойством логарифма степени $\log_ab^c=c\log_ab$ получим $$\lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x})} \quad (1)$$ т.к. необходимо найти предел и подставить его в (1) $$\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) =$$ находим значение функции в заданной точке $$= 2(\infty)\ln(1-\frac{3}{\infty}) = \infty * 0$$ Приведем указанный предел к неопределенности вида $\frac{0}{0}$ и применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) =2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = \frac{\infty}{\infty}$$ можно применять правило Лопиталя $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ применяем $$=2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln(1-\frac{3}{x}))'}{(\frac{1}{x})'}=$$ $$= 2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*(1-\frac{3}{x})'}{-\frac{1}{x^2}}=2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*\frac{3}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=-2 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{3}{x}}*3=-6$$ Подставляем полученное решение в (1), получаем $$\lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{-6}=\frac{1}{e^6}$$ Ответ: $$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}=\frac{1}{e^6}$$