Найдем предел \lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x} найдем значение функции в заданной точке = (1-\frac{3}{\infty})^{2\infty} = 1^{\infty}Для нахождения предела применим метод логарифмирования, т.е. применим основное логарифмическое тождество a^{log_ax}=xПреобразуем функцию \lim_{x \to \infty}e^{\ln(1-\frac{3}{x})^{2x}}=Воспользуемся свойством логарифма степени \log_ab^c=c\log_ab получим \lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{\lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x})} \quad (1)т.к. необходимо найти предел и подставить его в (1) \lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) = находим значение функции в заданной точке = 2(\infty)\ln(1-\frac{3}{\infty}) = \infty * 0Приведем указанный предел к неопределенности вида \frac{0}{0} и применим правило Лопиталя \lim_{x \to \infty}2x\ln(1-\frac{3}{x}) =2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = \frac{\infty}{\infty} можно применять правило Лопиталя \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} применяем =2 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(1-\frac{3}{x})}{\frac{1}{x}} = 2 \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln(1-\frac{3}{x}))'}{(\frac{1}{x})'}== 2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*(1-\frac{3}{x})'}{-\frac{1}{x^2}}=2 \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1-\frac{3}{x}}*\frac{3}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=-2 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1-\frac{3}{x}}*3=-6 Подставляем полученное решение в (1), получаем \lim_{x \to \infty}e^{2x\ln(1-\frac{3}{x})} = e^{-6}=\frac{1}{e^6}Ответ: \lim_{x \to \infty}(1-\frac{3}{x})^{2x}=\frac{1}{e^6}