Найдем предел $$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})}{\sin{x}} = $$ Находим значение функции в точке $$= \frac{\sqrt{0}\sin(\sqrt{0})}{\sin{0}} = \frac{0}{0}$$Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Конечно можно применить правило Лопиталя, но мы воспользуемся другим методом, который в данном случае будет проще. В примере в числителе и знаменателе есть синус, поэтому попробуем применить один из замечательных пределов $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$т.е. если в числителе синус, а в знаменателе выражение, равное аргументу синуса, то предел равен единице. Преобразуем дробь. В числителе стоит \(\sin{\sqrt{x}}\), т.е. чтобы получить замечательный предел в знаменателе должен быть \(\sqrt{x}\), тогда получим \(\lim_{x \to 0}{\frac{\sin{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}=1\), т.е. умножим и разделим числитель на \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) и знаменатель на \(\frac{x}{x}\) получим $$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})*\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\sin(x)*\frac{x}{x}}=\lim_{x \to 0}\frac{x*\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}{x*\frac{\sin(x)}{x}}=$$$$=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}{\frac{\sin(x)}{x}}=\frac{1}{1}=1$$
