1. Исследуем систему линейных уравнений на совместность.
Система \(AX=b\) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы $$rg(A|b) =rg A $$это теорема Кронекера-Капелли.
Для ответа на вопрос о совместность составим расширенную матрицу системы $$(A|b) =\left(\begin{array}{c}2 &5 &-4\\ 4&-5&-2 \\ x&3&-4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 3\\ -3\\ 0 \end{array}\right.\right)$$ и используя элементарные преобразования приведем ее к ступенчатому виду, для этого используем метод Гаусса. Поменяем местами первую и третью строки (только для удобства, для тех кто знает этот метод досконально это делать не обязательно) и выберем элемент \(a_{11}=1\) за ведущий, получаем
$$(A|b) =\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 4&-5&-2 \\ 2 &5 &-4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -3\\ 3 \end{array}\right.\right) \sim $$
умножим первую строку на 4 и вычтем из второй строки $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0&-17&14 \\ 2 &5 &-4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -3\\ 3 \end{array}\right.\right)\sim$$умножаем первую строку на 2 и вычтем из третьей строки $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0&-17&14 \\ 0 &-1 &4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -3\\ 3 \end{array}\right.\right)\sim $$Поменяем местами вторую и третью строки и выберем за ведущий элемент \(a_{22}\). $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0 &-1 &4 \\ 0&-17&14 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 3\\ -3 \end{array}\right.\right)\sim $$Умножаем вторую строку на 17 и вычитаем из третьей $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0 &-1 &4 \\ 0&0&-54 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 3\\ -54 \end{array}\right.\right)$$
Определяем ранг матриц (смотрим на третью строку).Получили, что $$rg A = rg (A|b) = n = 3$$ т.е.ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы т.е. система совместна, количество неизвестных равно рангу матриц, т.е. система имеет единственное решение.
2. Продолжаем решать систему уравнений методом Гаусса и получим ее решения.
Приводим матрицу к упрощенному виду (обратный ход метода Гаусса) предварительно разделим третью строку на -54 и получаем $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0 &-1 &4 \\ 0&0&1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 3\\ 1 \end{array}\right.\right) \sim$$Умножим третью строку на 4 и вычтем из второй строки $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0 &-1 &0 \\ 0&0&1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right.\right)\sim$$умножим вторую строку на -1 $$\left(\begin{array}{c}1&3&-4\\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right.\right)\sim$$умножим вторую строку на 3 и вычтем из первой строки $$\left(\begin{array}{c}1&0&-4\\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -3\\ 1\\ 1 \end{array}\right.\right)\sim$$ну и последнее, третью строку умножаем на 4 и складываем с первой строкой $$\left(\begin{array}{c}1&0&0\\ 0 &1 &0 \\ 0&0&1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right.\right)\sim$$Получили единичную матрицу. Записываем решение системы уравнений $$\begin{cases}x = 1\\y =1\\ z=1\end{cases}$$Получили решение системы уравнений.
3. Решим систему уравнений, используя правило Крамера.
Составим матрицу системы $$A=\left(\begin{array}{c}2 &5 &-4\\ 4&-5&-2 \\ 1&3&-4 \end{array}\right)$$ и вычислим ее определитель по правилу треугольника $$Δ = \det A = \left|\begin{array}{c}2 &5 &-4\\ 4&-5&-2 \\ 1&3&-4 \end{array}\right|=2*(-5)*(-4)+4*3*(-4)+5*(-2)*1-1*(-5)*(-4)-3*(-2)*2-4*5*(-4)=54$$Т.к. определитель не равен нулю , система имеет единственное решение.
Находим определитель матрицы \(Δ_1\) полученный из матрицы системы путем замены первого столбца столбцом свободных членов $$Δ_1 = \left|\begin{array}{c}3 &5 &-4\\ -3&-5&-2 \\ 0&3&-4 \end{array}\right|=3*(-5)*(-4)+(-3)*3*(-4)+5*(-2)*0-0*(-5)*(-4)-3*(-2)*3-(-3)*5*(-4)=54$$ и неизвестную $$x=\frac{Δ_1}{Δ}=\frac{54}{54}=1$$
Находим определитель матрицы \(Δ_2\) полученный из матрицы системы путем замены второго столбца столбцом свободных членов $$Δ_2 = \left|\begin{array}{c}2 &3 &-4\\ 4&-3&-2 \\ 1&0&-4 \end{array}\right|= 2*(-3)*(-4)+4*0*(-4)+3*(-2)*1-1*(-3)*(-4)-0*(-2)*2-4*3*(-4)=54 $$ и неизвестную $$y=\frac{Δ_2}{Δ}=\frac{54}{54}=1$$
Находим определитель матрицы \(Δ_3\) полученный из матрицы системы путем замены третьего столбца столбцом свободных членов $$Δ_3 = \left|\begin{array}{c}2 &5 &3\\ 4&-5&-3 \\ 1&3&0 \end{array}\right|= 2*(-5)*0+4*3*3+5*(-3)*1-1*(-5)*3-3*(-3)*2-4*5*0=54 $$ и неизвестную $$z=\frac{Δ_3}{Δ}=\frac{54}{54}=1$$
Ответ: \(x=1;y=1;z=1\)
