Найти предел $$\lim_{x \to 0} (1+\frac{8}{x})^{6x}$$

Найдем предел

$$\lim_{x \to 0} (1+\frac{8}{x})^{6x} = (1+ \infty)^0$$ т.е. получили неопределенность  вида $(\infty)^0$

Для нахождения предела проведем некоторые преобразования. Применим основное логарифмическое тождество $$a^{\log_ax} = x$$ получим $$\lim_{x \to 0} (1+\frac{8}{x})^{6x} = \lim_{x \to 0} e^{\ln{(1+\frac{8}{x})^{6x}}} =$$ $$\lim_{x \to 0} e^{6x*\ln{(1+\frac{8}{x})}} =  e^{\lim_{x \to 0}(6x*\ln{(1+\frac{8}{x})})} \quad (1)$$ ищем предел степени $$\lim_{x \to 0}(6x*\ln{(1+\frac{8}{x})}) = 0*\infty$$ т.е. получили неопределенность. Чтобы применить правило Лопиталя преобразуем эту неопределенность в вид $\frac{\infty}{\infty}$ $$\lim_{x \to 0}(6x*\ln{(1+\frac{8}{x})}) = 6\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(1+\frac{8}{x})}}{\frac{1}{x}}$$ получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$, т.е. можно применить правило Лопиталя, найдем производные числителя и знаменателя $$6\lim_{x \to 0}\frac{\ln{(1+\frac{8}{x})}}{ \frac{1}{x}} = 6\lim_{x \to 0} \frac{(\ln{(1+ \frac{8}{x})})'}{( \frac{1}{x})'}$$ $$=6\lim_{x \to 0} \frac{(\ln{(1+ \frac{8}{x})})'}{( \frac{1}{x})'} =6\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{1+ \frac{8}{x}}*(- \frac{8}{x^2})}{- \frac{1}{x^2}}=$$ $$=6\lim_{x \to 0}\frac{8}{1+\frac{8}{x}}=6\lim_{x \to 0}\frac{8x}{x+8}=0$$ Подставляем полученное решение в (1), получаем $$\lim_{x \to 0} (1+\frac{8}{x})^{6x} = e^{\lim_{x \to 0}(6x*\ln{(1+\frac{8}{x})})} = e^0 = 1$$ Ответ: $\lim_{x \to 0} (1+\frac{8}{x})^{6x}=1$