Начнем с ОДЗ.
1. Знаменатель не равен нулю \(x \ne 0\).
2. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю \(x^2-1 \geq => (x-1)(x+1) \geq 0 =>\) \(x \in (-\infty; -1] \cup [1;+\infty)\)
Приступаем к решению: $$\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x} \geq 1 =>\frac{\sqrt{x^2-1}+1}{x} -1 \geq 0$$приведем к общему знаменателю $$\frac{\sqrt{x^2-1}+1-x}{x} \geq 0 => (\sqrt{x^2-1}+1-x)x \geq 0 $$Найдем корень уравнения $$\sqrt{x^2-1}+1-x = 0 => \sqrt{x^2-1} = x -1 =>$$возведем в квадрат обе части уравнения, при этом добавим условие в ОДЗ - корень всегда больше или равен нулю, т.е. \(x-1 \geq 0 => x \in [1;+\infty)\)$$ x^2-1 = x^2 - 2x + 1 => 2x-2=0 => x=1$$ Т.о. получили следующие интервалы для анализа \((-\infty;0) \cup (0;1] \cup [1;+\infty)\).
С учетом ОДЗ получаем анализируемый интервал - \(x \in [1;+\infty)\)
Подставляем любое значение из этого интервала в неравенство и проверяем его на истинность, например x=2, получаем \((\sqrt{2^2-1}+1-2)2 \geq 0 \) .
Ответ: \(x \in [1;+\infty)\)
