К данной функции нельзя применять известные формулы производных, например производная степенной или показательной функции т.к. в данном случае неизвестная находится как в основании так и в степени, поэтому необходимо провести некоторые дополнительные преобразования и приведем эту функцию к показательной вида \(a^x\). Для этого воспользуемся основным логарифмическим тождеством $$a^{log_ax}=x$$ В нашем случае получим следующее $$y = (\sin(x))^{\cos(x)}=e^{\ln(\sin(x))^{\cos(x)}}=e^{\cos(x)\ln(\sin(x))}$$Т.е. мы получили степенную функцию, а теперь можно искать производную по формуле производной степенной функции и производной сложной функции $$y'=(e^{\cos(x)\ln(\sin(x))})=e^{\cos(x)\ln(\sin(x))}*(\cos(x)\ln(\sin(x)))' =$$$$=e^{ \cos(x)\ln(\sin(x))}*( -\sin(x)\ln(\sin(x))+ \cos(x)*(\ln(\sin(x)))') =$$Применяем формулу основного логарифмического тождества и продолжаем интегрировать сложную функцию $$=(\sin(x))^{\cos(x)}*(\cos(x)* \frac{\cos(x)}{\sin(x)}-\sin(x)\ln(\sin(x))) =(\sin(x))^{\cos(x)}*(\cos(x)*ctg(x)-\sin(x)\ln(\sin(x))) $$Ответ: $$y' = ((\sin(x))^{\cos(x)})'=(\sin(x))^{\cos(x)}*(\cos(x)*ctg(x)-\sin(x)\ln(\sin(x)))$$
