Найдем предел $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(tg(x) - \frac{1}{\cos(x)}) = $$Приведем в общему знаменателю и найдем предел$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)} = \frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), применим правило Лопиталя: если $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(a)}{g(a)} = \frac{0}{0}$$ тогда $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$Т.е. найдем производную числителя и знаменателя $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x) - 1}{\cos(x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(\sin(x) - 1)'}{(\cos(x))'}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = \frac{0}{-1}=0$$Ответ: \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(tg(x) - \frac{1}{\cos(x)}) =0 \)
