Эта задача на нахождение локального максимума (экстремума) вида "найти наибольшую площадь (объем, длину и т.д.)".
Решение задачи сводится к нахождению функции (в данном случае площади) от одной переменной, а далее действуем по алгоритму нахождения экстремума.
Решаем.
Площадь прямоугольника равна S=a*bт.е. у нас две переменные. Нужно выразить одну переменную (сторону) через другую или найти общую для сторон переменную и выразить стороны через эту переменную.
Рассмотрим рисунок.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAB. Стороны треугольника связаны между собой при помощи теоремы Пифагора и при помощи тригонометрических функций.
Рассмотрим первый способ - тригонометрический.
Будем считать, что R - радиус окружности - постоянная. Из треугольника ΔOAB можно найти его катеты (это стороны прямоугольника) a = AB = R\sin\alpha, для второго катета (стороны) \frac{1}{2}b = R\cos\alpha => b = 2*R\cos\alpha. Подставляем в формулу площади S=a*b = R\sin\alpha *2*R\cos\alpha = R^2\sin 2\alpha Из рисунка видно, что угол принадлежит диапазону \alpha \in (0;90^0).
Получили функцию площади, зависящую от одной переменной - угла S(\alpha).
Теперь ищем локальный максимум (экстремум). Для этого находим производную от функции S(\alpha) S' = (R^2\sin 2\alpha )' = 2R^2*\cos 2\alpha Приравниваем производную к нулю 2R^2*\cos 2\alpha = 0 => \cos 2\alpha = 0 => 2\alpha = \frac{\pi}{2} +\pi n => \alpha = \frac{\pi}{4} +\frac{\pi n}{2} Как я уже писал угол \alpha \in (0;\frac{\pi}{2}), поэтому остается одно решение \alpha = \frac{\pi}{4}. Подставляем полученное значение в формулу сторон и площади и находим прямоугольник с наибольшей площадью a = R\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}Rb = 2R\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt 2 RS = R^2\sin 2\frac{\pi}{4}= R^2
То, что это локальный максимум понятно из того, что мы получили \sin 2\frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1. Если мы возьмем углы справа и слева , то синус всегда будет меньше единицы, т.е. полученная площадь наибольшая.