1. Составим уравнение прямой AB. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$подставляем координаты точек А(11; 1), В(1;8), получаем $$\frac{x-11}{1-11}=\frac{y-1}{8-1} =>y=-0,7x+8,7$$
2. Составим уравнение высоты треугольника ΔABC, выходящую из вершины B. Назовем ее BD. Для этого найдем уравнение стороны AC и применим свойство угловых коэффициентов перпендикулярных прямых $$k_1=-\frac{1}{k_2}$$Уравнение прямой AC получим из формулы прямой, проходящей через две заданные точки А(11; 1), С(4; 2)$$\frac{x-11}{4-11}=\frac{y-1}{2-1} =>y=-\frac{1}{7}x+\frac{18}{7}$$Из этого уравнения получаем угловой коэффициент \(k_{AC}=-\frac{1}{7}\).Тогда угловой коэффициент высоты BD будет равен \(k_{BD}=-\frac{1}{k_{AC}}=7\). Для уравнение высоты BD у нас есть координаты одной точки В(1; 8) и угловой коэффициент \(k_{BD}=7\) получим уравнение высоты, воспользовавшись формулой прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении $$y-y_0=k(x-x_0)$$Подставляем полученные данные и получаем уравнение высоты BD $$y-8=7(x-1) =>y=7x+1$$
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB. Назовем ее CE. Две прямые параллельны, значит их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой AB известно \(y=-0,7x+8,7\), тогда угловой коэффициент \(k_{AB}=k_{CE}=-0.7\). Угловой коэффициент нашли, координаты точки С(4; 2) известны, подставляем в уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, получаем уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно прямой AB $$y-2=-0.7(x-4)=>y=-0,7x+4,8$$
4. Медиана треугольника ΔABC, проходящую через точку C. Назовем ее CF. Медиана в точке F делит сторону AC пополам. Известны координаты точек А(11; 1) и В(1; 8), найдем координаты точки \(F(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}) =>F(\frac{11+1}{2};\frac{1+8}{2}) =>F(6;4.5)\), тогда воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки С(4; 2) и F(6;4,5) и получим уравнение медианы CF $$\frac{x-4}{6-4}=\frac{y-2}{4,5-2} =>y=1,25x-3$$
5. Составить уравнение серединного перпендикуляра к стороне AC. Назовем серединный перпендикуляр (медиатриса) MN. Серединный перпендикуляр - перпендикуляр проведенный к середине отрезка AC - точка M, найдем ее координаты при известных координатах точек А(11; 1), С(4; 2) \(M(\frac{11+4}{2};\frac{1+2}{2}) =>M(7,5;1,5)\). Уравнение высоты BD на сторону AC известно \(y=7x+1\). Серединный перпендикуляр также перпендикулярен AC, т.е. он параллелен BD, т.е. их угловые коэффициенты равны \(k_{AC}=k_{MN}=7\). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку M(7,5;1,5) в заданном направлении \(k_{MN}=7\) и получим уравнение серединного перпендикуляра MN $$y-1,5=7(x-7,5) =>y=7x-51$$
Нанесем полученные уравнения прямых на декартовую систему координат
