Запишем каноническое уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
1. написать уравнение асимптот гиперболы \(х^2−2у^2=4\)
Приведем указанное уравнение к каноническому виду $$х^2−2у^2=4 => \frac{х^2}{4}−\frac{у^2}{2}=1 $$ из уравнения гиперболы определим a и b - полуоси гиперболы.
\(a=2, b=\sqrt2\). Запишем уравнения асимптот $$y=\frac{b}{a} =>y=\frac{\sqrt2}{2},\\y=-\frac{b}{a} => y=-\frac{\sqrt2}{2}$$
2.написать уравнение гиперболы у которой a=6, b =3, определить эксцентриситет гиперболы, где F(4;0) - фокус
Подставим в каноническое уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) значения a и b.
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 =>\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$$ определим эксцентриситет гиперболы с фокусом F(4;0)$$\epsilon = \frac{c}{a}$$где с - фокусное расстояние, оно равно 4, подставим значения в формулу эксцентриситета гиперболы $$\epsilon = \frac{c}{a} =>\epsilon = \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
