Спасибо Светлане за решение.
Закончим решение неоднородного линейного дифференциального уравнения z' - z\cdot\frac{2}{x} = x \quad (1)
.
1. Приведем неоднородное уравнение к однородному для этого приравняем член без z к нулю
z' - z\cdot\frac{2}{x} = 0
Решим дифференциальное уравнение методом разделения переменных
\frac{dz}{dx} = z\cdot\frac{2}{x} => \frac{dz}{z} = \frac{2dx}{x}
Проинтегрируем обе части уравнения
\int \frac{dz}{z} = \int \frac{2dx}{x} => \ln(z) = 2\ln(x) + \ln(C)
Пропотенцируем уравнения
z = x^2C
2. Применяем метод вариации произвольной постоянной. Предполагаем, что C=C(x) - некоторая функция переменной x
z = x^2C(x) \quad (2)
Находим производную (2) и подставляем в (1).
z' = 2xC(x)+x^2C'(x)
после подстановки в (1) получаем:
z' - z\cdot\frac{2}{x} = x => 2xC(x)+x^2C'(x) - x^2C(x)\cdot\frac{2}{x} = x
Если все выкладки были сделаны правильно, члены с C(x) должны сократиться
x^2C'(x) = x
Предполагаем, что
x \ne 0, тогда после деления на
x^2 обеих частей уравнения, получаем
C'(x) = \frac{1}{x}
интегрируем обе части уравнения
\int C'(x)dx = \int \frac{1}{x}dx => C(x) = \ln(x) + \ln(C) =>C(x) = \ln(Cx)
3. Подставляем значение C(x) в (2).
z = x^2C(x) => z = x^2\ln(Cx) \quad (3)
4. Применяем обратную замену
z(x) = e^y и подставляем в (3)
e^y = x^2\ln(Cx)
В ходе решения мы при делении на x мы предполагали, что
x \ne 0, подставляем это значение в решение ДУ. x=0 - не является решением дифференциального уравнения (ОДЗ логарифма
Cx \ne 0 => x \ne 0)
Ответ:
e^y = x^2\ln(Cx)