Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Решить дифференциальное уравние xy'=x^2e^{-y}+2


0 Голосов
Оксана Курило
Posted Ноябрь 7, 2013 by Оксана Курилова
Категория: Дифференциальные уравнения
Всего просмотров: 3810

Решить дифференциальное уравние xy'=x^2e^{-y}+2

Теги: Филиппов задача 392, решебник Филиппов сборник задач по дифференциальным уравнениям

Лучший ответ


0 Голосов
Svetlana Mironova
Posted Ноябрь 7, 2013 by Svetlana Mironova

Доброго времени
Можно умножить обе части уравнения на e^y:
x\cdot e^y\cdot y' = x^2 + 2e^y


в таком уравнении делаем замену z(x) = e^y, а тогда производная z'= e^y\cdot y', и получаем уравнение:
x\cdot z' = x^2 + 2z

т.е. получается линейное уравнение:  z' - z\cdot\frac{2}{x} = x
( с линейным вроде должно быть уже не сложно.. если что-нибудь не получится - напишите =))


Другие ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 12, 2013 by Вячеслав Моргун

Спасибо Светлане за решение.
Закончим решение неоднородного линейного дифференциального уравнения z' - z\cdot\frac{2}{x} = x \quad (1)

.
1. Приведем неоднородное уравнение к однородному для этого приравняем член без z к нулю z' - z\cdot\frac{2}{x} = 0
Решим дифференциальное уравнение методом разделения переменных \frac{dz}{dx} = z\cdot\frac{2}{x} => \frac{dz}{z} = \frac{2dx}{x}
Проинтегрируем обе части уравнения \int \frac{dz}{z} = \int \frac{2dx}{x} => \ln(z) = 2\ln(x) + \ln(C)
Пропотенцируем уравнения z = x^2C

2. Применяем метод вариации произвольной постоянной. Предполагаем, что C=C(x) - некоторая функция переменной x z = x^2C(x) \quad (2)
Находим производную (2) и подставляем в (1). z' = 2xC(x)+x^2C'(x)
после подстановки в (1) получаем: z' - z\cdot\frac{2}{x} = x => 2xC(x)+x^2C'(x) - x^2C(x)\cdot\frac{2}{x} = x
Если все выкладки были сделаны правильно, члены с C(x) должны сократиться x^2C'(x) = x
Предполагаем, что x \ne 0, тогда после деления на x^2 обеих частей уравнения, получаем C'(x) = \frac{1}{x}
интегрируем обе части уравнения \int C'(x)dx = \int \frac{1}{x}dx => C(x) = \ln(x) + \ln(C) =>C(x) = \ln(Cx)

3. Подставляем значение C(x) в (2). z = x^2C(x) => z = x^2\ln(Cx) \quad (3)

4. Применяем обратную замену z(x) = e^y и подставляем в (3) e^y = x^2\ln(Cx)
В ходе решения мы при делении на x мы предполагали, что x \ne 0, подставляем это значение в решение ДУ. x=0 - не является решением дифференциального уравнения (ОДЗ логарифма Cx \ne 0 => x \ne 0)
Ответ: e^y = x^2\ln(Cx)