Loading Web-Font TeX/Size2/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти определенный интеграл методом интегрирования по частям \int_0^2arctg \frac{x}{2}dx


0 Голосов
тимченко мари
Posted Ноябрь 6, 2013 by тимченко марина юьевна
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 1757

Найти определенный интеграл методом интегрирования по частям \int_0^2arctg \frac{x}{2}dx


Теги: определенный интеграл, интегрирование по частям

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 6, 2013 by Вячеслав Моргун

Для нахождения интеграла применим формулу интегрирования по частям \int_a^bf(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|_a^b-\int_a^bg(x)f'(x)dx \quad (1)

Введем обозначения:
g'(x)=dx =>g(x)=\int dx =>g(x) = x
f(x)=arctg \frac{x}{2} =>f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} =>f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}
за g(x) - выбирают функцию, которую легко интегрировать, а за f(x) - функцию, для которой можно просто найти дифференциал.


Подставляем в формулу  (1) и получаем \int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = x\cdot arctg \frac{x}{2}|_0^2-\int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+( \frac{x}{2})^2}dx \quad (3)


Найдем интеграл \int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx \quad (4)

Решать его будем методом замены. Замену выбираем из следующих соображений: если обозначить t=1+(\frac{x}{2})^2, дифференциал от t будет равен dt = 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{2}dx =\frac{x}{2}dx, а у нас в формуле есть \frac{x}{2}, т.е. все элементы для замены есть, подставляем замену в (4) при этом не забываем о границах интеграла, которые нужно пересчитать. Нижняя граница x=0 =>t=1+(\frac{x}{2})^2 = 1, верхняя граница x=2 =>t=1+(\frac{x}{2})^2 = 1+(\frac{2}{2})^2=2, подставляем\int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx = \int_0^2x\cdot\frac{1}{2}\frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2}dx=\int_1^2\frac{1}{t}dt=\ln t|_1^2
Подставляем результата в (3)\int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = x\cdot arctg \frac{x}{2}|_0^2 - \ln t|_1^2 =
= 2\cdot arctg \frac{2}{2}-0\cdot arctg \frac{0}{2} - \ln 2 - \ln 1=
= 2\cdot\frac{\pi}{4}-\ln 2 = \frac{\pi}{2}-\ln 2

Ответ: \int_0^2arctg \frac{x}{2}dx = \frac{\pi}{2}-\ln 2